≡× МЕНЮ

• Постройки
• Отделка
• Кладка
• Раствор
• Расчет

Простые проценты и их применение в финансово-экономических расчетах. Курсовая работа сложные проценты Применение сложных процентов в экономических расчетах заключение

Беспалова Екатерина

Содержание работы соответствует заявленной теме и излагается в соответствии с удачно составленным планом. В разделе «Введение» определена тема, цели и задачи работы, а также перечислены методы исследования. Поставленные цели и задачи работы достаточно грамотно и убедительно подтверждаются материалами работы. Авторы успешно использовали такие методы, как анализ, синтез, сравнение. Материалы работы свидетельствуют о том, что исследователи внимательно изучили теоретический материал по данной теме, провели расчеты и сделали собственные выводы. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Понимание процентов и умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. В теоретической части проектной работы представлено всё, что необходимо знать о простых и сложных процентах: формулы, пояснения и расчеты по этим формулам. Хорошим дополнением работы является исследовательская часть, которая посвящена сравнительному анализу сложных и простых процентов, что показывает пригодность сложных процентов в банковской системе. Студентка самостоятельно провела исследование по вкладам физических лиц в различных банках, сделав обоснованный вывод о том, что сложные проценты играют большую роль в экономике и банковской системе. Материал может быть полезен преподавателям математики, экономики, обучающимся образовательных организаций.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Республики Хакасия «Техникум коммунального хозяйства и сервиса»

Тема проекта:

« Применение сложных процентов в экономических расчётах»

Научный руководитель: Чердынцева Л.А.

Студентка: Беспалова Екатерина Андреевна

Группа: ТТ-11

Абакан, 2016

Введение

Каждый день мы делаем одно и то же - мы живём, работаем, едим и спим, для нас это повседневная жизнь. Мы даже не замечаем, что многие термины связаны с повседневной жизнью. К примеру, экономика - это часть повседневной жизни. Люди принимают ежедневное участие в экономической деятельности, живут в экономической среде. В свою очередь никакая экономика не обходится без процентов. Проценты окружают нас везде.

А ведь проценты появились еще в древности у вавилонян. Денежные расчеты с процентами были распространены в Древнем Риме. Римляне называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. От римлян проценты перешли к другим народам.

В настоящее время проценты применяются во всех экономических сферах деятельности: на предприятиях, в статистике, в банковской системе и т.д. Свою работу мы покажем на примере банков.

Почему именно банки? Банки находятся в центре экономической жизни, обслуживают интересы производителей, связывая денежным потоком промышленность и торговлю, сельское хозяйство и население. Во всем мире банки имеют значительную власть и влияние, они распоряжаются огромным денежным капиталом, стекающимся к ним от предприятий и фирм, от торговцев и фермеров, от государства и частных лиц.

Для чего человек несет свои сбережения в банк? Конечно же, чтобы обеспечить их сохранность, и самое главное - получить доходы. И вот здесь знание формулы простых или сложных процентов, а также умение составить предварительный расчет процентов по вкладу как никогда пригодится. Ведь прогнозирование процентов по вкладам или процентов по кредитам относится к одной из составляющих разумного управления своими финансами.

В этом и состоит актуальность темы.

Цель работы:

Исследование простых и сложных процентов в экономических расчётах.

Задачи:

Сравнить простые и сложные проценты по вкладам физических лиц.

Сравнить доход по вкладам физических лиц с применением формул сложного процента в зависимости от временного промежутка.

Провести анализ доходов по вкладам физических лиц в различных банках.

Проценты

Процент-это сумма, которую уплачивают за пользование денежными средствами.

Проценты делятся на простые и сложные

1) Простые проценты - проценты, которые начисляются на первоначальную сумму.

S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита (т.е. вклада).

I – годовая процентная ставка

t – количество дней начисления процентов по привлеченному вкладу

K – количество дней в календарном году (365 или 366)

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств

Мы придумали задачу, чтобы вы увидели, как применяются простые проценты в банковских расчётах.

Задача 1.

В банк внесли вклад суммой 100000 руб., а через 5 лет на счете было 168000 руб. Определите процентную ставку банка, используя простые проценты.

Решение:

I= (168000-100000)*(365*100%)/100000*1825=13, 6%

Ответ: 13,6% ставка.

2) Сложные проценты – проценты, полученные на начисленные проценты.

I – годовая процентная ставка;

j – количество календарных дней в периоде, по итогам которого банк производит капитализацию начисленных процентов;

K – количество дней в календарном году (365 или 366);

P – первоначальная сумма привлеченных в депозит денежных средств;

n - количество операций по капитализации начисленных процентов в течение общего срока привлечения денежных средств;

S - сумма денежных средств, причитающихся к возврату вкладчику по окончании срока депозита. Она состоит из суммы вклада с процентами.

А теперь так же решим задачу, но уже со сложными процентами

Задача 2.

В банк внесли вклад суммой 100000 руб. под 13.6%, на 5 лет. Начисление процентов – раз в год. Какую сумму денег снимет вкладчик со счёта по окончанию 5 лет?

Решение:

S= 100000* (1+ (13, 6%*365)/ 365*100%) 5 =100000*1, 1365=189187, 2 руб.

Ответ: 189187,2 руб.

Давайте сравним простые и сложные проценты, чтобы всё же понять, какая есть между ними разница:

Задача 3. В банк внесли вклад суммой 100000 руб. под 12% на 10 лет. Определить какая сумма денег будет через каждый год, используя простые и сложные проценты.

В таблице мы видим, что выгоднее использовать сложные проценты:

График роста капитала с применением простых и сложных процентов:

А теперь давайте сравним сложные проценты по вкладу в зависимости от временного промежутка.

Задача 4. В банк внесли вклад суммой 100000 руб. на 1 год под процентную ставку 12% годовых. Сравнить суммы, которые будут причитаться к возврату вкладчику при начислении процентов: ежедневном, еженедельном, ежемесячном, ежеквартальном, по полугодиям и ежегодном.

В таблице мы видим, чем чаще промежуток начисления процентов, тем больше доход мы получаем.

Изучая простые и сложные проценты, мы провели анализ в какой банк на данный момент лучше вложить деньги и почему.

За основу мы взяли три банка - это «Бинбанк», «Альфа-банк» и «ВТБ 24».

ВТБ 24 – вклад «Выгодный»

Альфа-банк – вклад «Победа»

Бинбанк – вклад «Максимальный доход»

Задача 5. Мы имеем 500000 руб. и выбираем в какой банк положить эту сумму для получения наибольшего дохода за 1 год.

На данный момент, лучше всего вносить вклад в «Альфа-банке»

Вывод:

Провели исследование простых и сложных процентов в экономических расчётах.

Сравнили простые и сложные проценты по вкладам физических лиц.

Сравнили доход по вкладам физических лиц с применением формул сложного процента в зависимости от временного промежутка.

Провели анализ доходов по вкладам физических лиц в различные банки

. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ И ИНТЕРНЕТ РЕСУРСОВ

1. Четыркин, Е. М. Финансовая математика / Е. М. Четыркин,

учебник. - 6-е изд., испр. - М. : Дело, 2006. - 399 с.2. Самаров, К. Л. Финансовая математика: Практ. курс: учеб.пособие / К. Л Самаров. - М. : Альфа-М; ИНФРА-М, 2006. - 78 с.

3. Финансовая математика: учебник для вузов / П. П. Бочаров. - 2-е изд. - М.: Физматлит, 2005. - 574 с.

4 Финансовая математика: учеб.-метод. комплекс / С. Г. Валеев. -Ульяновск: УлГТУ, 2005. - 106 с.

5. Финансовая математика. В. Малыхин: http://www.finansmat.ru/.

6. Финансовая математика. А. Федоров (лекции): http://wdw2005.narod.ru/FM_lec.htm#_Toc179997391.

7. Математическое Бюро: http://www.matburo.ru/index.php.

8. Финансовая математика (лекции):

http://treadwelltechnologies.com/index.html.

9. Финансовый анализ: http://www.finances-analysis.ru/financial- maths/.

10. Знания - в массы: http://www.finmath.ru/.

6.2 Применение пределов в экономических расчетах

Сложные проценты

В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за фиксированные одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т. д.). Время - дискретная переменная. В некоторых случаях - в доказательствах и расчетах, связанных с непрерывными процессами, возникает необходимость в применении непрерывных процентов. Рассмотрим формулу сложных процентов:

S = P(1 + i) n . (6.16)

Здесь P - первоначальная сумма, i - ставка процентов (в виде десятичной дроби), S - сумма, образовавшаяся к концу срока ссуды в конце n-го года. Рост по сложным процентам представляет собой процесс, развивающийся по геометрической прогрессии. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов. В финансовой практике часто сталкиваются с задачей, обратной определению наращенной суммы: по заданной сумме S, которую следует уплатить через некоторое время n, необходимо определить сумму полученной ссуды P. В этом случае говорят, что сумма S дисконтируется, а проценты в виде разности S - P называются дисконтом. Величину P, найденную дисконтированием S, называют современной, или приведенной, величиной S. Имеем:

P = Þ P = = 0.

Таким образом, при очень больших сроках платежа современная величина последнего будет крайне незначительна.

В практических финансово-кредитных операциях непрерывные процессы наращения денежных сумм, т. е. наращения за бесконечно малые промежутки времени, применяются редко. Существенно большее значение непрерывное наращение имеет в количественном финансово-экономическом анализе сложных производственных и хозяйственных объектов и явлений, например, при выборе и обосновании инвестиционных решений. Необходимость в применении непрерывных наращений (или непрерывных процентов) определяется прежде всего тем, что многие экономические явления по своей природе непрерывны, поэтому аналитическое описание в виде непрерывных процессов более адекватно, чем на основе дискретных. Обобщим формулу сложных процентов для случая, когда проценты начисляются m раз в году:

S =P (1 + i/m) mn .

Наращенная сумма при дискретных процессах находится по этой формуле, здесь m - число периодов начисления в году, i - годовая или номинальная ставка. Чем больше m, тем меньше промежутки времени между моментами начисления процентов. В пределе при m ®¥ имеем:

`S = P (1 + i/m) mn = P ((1 + i/m) m) n .

Поскольку (1 + i/m) m = e i , то `S = P e in .

При непрерывном наращении процентов применяют особый вид процентной ставки - силу роста, которая характеризует относительный прирост наращенной суммы в бесконечно малом промежутке времени. При непрерывной капитализации процентов наращенная сумма равна конечной величине, зависящей от первоначальной суммы, срока наращения и номинальной ставки процентов. Для того, чтобы отличить ставки непрерывных процентов от ставки дискретных процентов, обозначим первую через d, тогда `S = Pe .

Сила роста d представляет собой номинальную ставку процентов при m®¥. Множитель наращения рассчитывается с помощью ЭВМ или по таблицам функции.

Потоки платежей. Финансовая рента

Контракты, сделки, коммерческие и производственно-хозяйственные операции часто предусматривают не отдельные разовые платежи, а множество распределенных во времени выплат и поступлений. Отдельные элементы такого ряда, а иногда и сам ряд платежей в целом, называется потоком платежей. Члены потока платежей могут быть как положительными (поступления), так и отрицательными (выплаты) величинами. Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы между двумя последовательными платежами постоянны, называют финансовой рентой. Ренты делятся на годовые и р-срочные, где р характеризует число выплат на протяжении года. Это дискретные ренты. В финансово-экономической практике встречаются и с последовательностями платежей, которые производятся так часто, что практически их можно рассматривать как непрерывные. Такие платежи описываются непрерывными рентами.

Пример 3.13. Пусть в конце каждого года в течение четырех лет в банк вносится по 1 млн. рублей, проценты начисляются в конце года, ставка - 5% годовых. В этом случае первый взнос обратится к концу срока ренты в величину 10 6 ´ 1,05 3 так как соответствующая сумма была на счете в течение 3 лет, второй взнос увеличится до 10 6 ´ 1,05 2 , так как был на счете 2 года. Последний взнос процентов не приносит. Таким образом, в конце срока ренты взносы с начисленными на них процентами представляют ряд чисел: 10 6 ´ 1,05 3 ; 10 6 ´ 1,05 2 ; 10 6 ´ 1,05; 10 6. Наращенная к концу срока ренты величина будет равна сумме членов этого ряда. Обобщим сказанное, выведем соответствующую формулу для наращенной суммы годовой ренты. Обозначим: S - наращенная сумма ренты, R - размер члена ренты, i - ставка процентов (десятичная дробь), n - срок ренты (число лет). Члены ренты будут приносить проценты в течение n - 1, n - 2,..., 2, 1 и 0 лет, а наращенная величина членов ренты составит

R (1 + i) n - 1 , R (1 + i) n - 2 ,..., R (1 + i), R.

Перепишем этот ряд в обратном порядке. Он представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем (1+i) и первым членом R. Найдем сумму членов прогрессии. Получим: S = R´((1 + i) n - 1)/((1 + i) - 1) = = R´((1 + i) n - 1)/ i. Обозначим S n; i =((1 + i) n - 1)/ i и будем называть его коэффициентом наращения ренты. Если же проценты начисляются m раз в году, то S = R´((1 + i/m) mn - 1)/((1 + i/m) m - 1), где i - номинальная ставка процентов.

Величина a n; i =(1 - (1 + i) - n)/ i называется коэффициентом приведения ренты. Коэффициент приведения ренты при n ®¥ показывает, во сколько раз современная величина ренты больше ее члена:

A n; i = (1 - (1 + i) - n)/ i =1/i.

Пример 3.14. Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено - она выплачивается в течение бесконечного числа лет. Вечная рента не является чистой абстракцией - на практике это некоторые виды облигационных займов, оценка способности пенсионных фондов отвечать по своим обязательствам. Исходя из сущности вечной ренты можно полагать, что ее наращенная сумма равна бесконечно большой величине, что легко доказать по формуле: R´((1 + i) n - 1)/ i ® ¥ при n ® ¥.

Коэффициент приведения для вечной ренты a n; i ® 1/i, откуда A = R/i, т. е. современная величина зависит только от величины члена ренты и принятой ставки процентов.

Метод потенциалов. Однако на распределительном методе основаны некоторые другие способы решения задач, что и вызывает необходимость его изучения. 9. Метод потенциалов Решение транспортной задачи любым способом производится на макете. Макет для применения метода потенциалов имеет следующий вид. Основная часть макета выделена двойными линиями. Она содержит k×l клеток. Каждая...

Признакам следует выделить два основных вида игр, несущих наибольшую образовательную нагрузку, так как все остальные являются производными от них. Этими видами являются инновационные игры и ансамблевые игры. Имитационные или ролевые игры позволяют обучать персонал практически с нуля, в то время как два предыдущих вида больше связаны с развивающим обучением. Назначение деловых игр Деловая...

Из остальных факторов мало что удастся сделать. Когда я поступил в корпорацию "Крайслер", то взял с собой мои записные книжки из компании "Форд", в которых была отражена служебная карьера нескольких сот фордовских менеджеров. После увольнения я набросал подробный перечень того, что не хотел оставлять в кабинете. Эти записные книжки в черных переплетах, несомненно, принадлежали мне, но можно было...

Научн. картине мира, кот. дает естествознание. Необходимость применения естствено научных методов и законов в практической деят-ти гуманитарных специальностей и привело к постановке того курса, кот. мы будем изучать: Физика для гуманитариев. (38) Связь между разделами естествознания. Слово естествознание представляет из себя сочетание 2х слов: естество (природа) и знание. В настоящее время...

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов.

Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

FV = PV + I = PV + PV i = PV (1 + i)

– за один период начисления;

FV = (PV + I) (1 + i) = PV (1 + i) (1 + i) = PV (1 + i)2

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

FV = PV (1 + i)n = PV kн,

где FV – наращенная сумма долга;

PV – первоначальная сумма долга;

i – ставка процентов в периоде начисления;

n – количество периодов начисления;

kн – коэффициент (множитель) наращения сложных процентов.

Эта формула называется формулой сложных процентов.

Как было выше указано, различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

Базисные темпы роста или коэффициенты (множители) наращения, зависящие от процентной ставки и числа периодов наращения, табулированы и представлены в Приложении 2. Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i. 5>>>

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке 4.

Рис. 4. Наращение по простым и сложным процентам.

Как видно из рисунка 4, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i)n ;

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i)n ;

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i)n .

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Пример 8. Сумма в размере 2"000 долларов дана в долг на 2 года по ставке процента равной 10% годовых. Определить проценты и сумму, подлежащую возврату.

Наращенная сумма

FV = PV (1 + i)n = 2"000 (1 + 0"1)2 = 2"420 долларов

FV = PV kн = 2"000 1,21 = 2"420 долларов,

где kн = 1,21 (Приложение 2).

Сумма начисленных процентов

I = FV - PV = 2"420 - 2"000 = 420 долларов. 6>>>

Таким образом, через два года необходимо вернуть общую сумму в размере 2"420 долларов, из которой 2"000 долларов составляет долг, а 420 долларов – "цена долга".

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

FV = PV (1 + i)n,

где n – период сделки;

a – целое число лет;

b – дробная часть года.

смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

FV = PV (1 + i)a (1 + bi).

Поскольку b < 1, то (1 + bi) > (1 + i)a, следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Пример. В банке получен кредит под 9,5% годовых в размере 250 тыс. долларов со сроком погашения через два года и 9 месяцев. Определить сумму, которую необходимо вернуть по истечении срока займа двумя способами, учитывая, что банк использует германскую практику начисления процентов.

Общий метод:

FV = PV (1 + i)n = 250 (1 + 0,095)2,9 = 320,87 тыс. долларов.

Смешанный метод:

FV = PV (1 + i)a (1 + bi) =

250 (1 + 0,095)2 (1 + 270/360 0,095) =

321,11 тыс. долларов.

Таким образом, по общему методу проценты по кредиту составят

I = S - P = 320,87 - 250,00 = 70,84 тыс. долларов, 7>>>

а по смешанному методу

I = S - P = 321,11 - 250,00 = 71,11 тыс. долларов.

Как видно, смешанная схема более выгодна кредитору.

При пользовании финансовыми таблицами необходимо следить за соответствием длины периода и процентной ставки.

Сравните полученный результат с результатом примера 1. Не трудно заметить, что сложная ставка дает большую сумму процентов.

При расчете по смешанному методу результат всегда оказывается больше.

Краткое теоретическое обоснование

В средне- и долгосрочных финансовых и коммерческих операциях проценты могут выплачиваться не сразу после их начисления, а присоединяться к сумме долга. В этом случае для наращения применяют сложные проценты.

При начислении сложных процентов (compound interest) принимается такой способ, при котором за базу начисления процентов принимается сумма, полученная на предыдущем этапе наращения или дисконтирования. В этом случае часто говорят, что проценты начисляются на проценты.

В отличие от простых процентов база для начисления сложных процентов не остается постоянной, а увеличивается с каждым шагом во времени. Наращение по сложным процентам представляет собой последовательное реинвестирование средств, вложенных под простые проценты на один период начисления.

Наращенная сумма по сложным процентам рассчитывается по формуле S=Р(1+r) t , где t – количество периодов начисления.

Пример 2.1. Какой величины достигнет величина долга, равного 1 млн. руб. через пять лет при росте по сложной ставке 15,5% годовых?

S =1 000 000(1+0,155) 5 =2 055 464,22 руб. 

В договорах обычно указываются годовая ставка r и количество начислений процентов m в течение года. Это означает, что базовый период составляет год, деленный на m , а ставка сложных процентов для периода равна r / m . Формула для сложных процентов с учетом знаков финансовых функций Excel приобретет вид: S+Р(1+ r / m ) t = 0. Параметр t измеряется в периодах. Если начисление происходит k лет, то формула приобретает вид S+P(1+r / m ) km =0.

Помимо фиксированных во времени процентных ставок применяют «плавающие» ставки (floating rate). Сумма наращения с переменными ставками определяется по формуле: , где
– последовательные во времени значения процентных ставок;
– периоды действия соответствующих ставок.

Пример 2.2. Ссуда выдана на 5 лет. Фиксированная часть процентной ставки установлена в 12% годовых плюс надбавки (маржа) 0,5% в первые два года и 0,75% - в остальные. Найти множитель наращения.

Множитель наращения составит:

q = (1+0,125) 2 (1+0,1275) 3 =1,81407 

Часто период начисления процентов не составляет целое число лет. В этом случае для начисления применяют два метода. При общем методе расчет ведется по формуле сложных процентов. При смешанном методе за целое число лет проценты начисляют по формуле сложных процентов, а за дробную часть периода – по формуле простых процентов:
, гдеa + b = t ; a – целое число периодов; b – дробная часть периода t .

Порядок выполнения работы

Для расчетов задач начисления сложных процентов используем тот же алгоритм работы и финансовые функции, что и для простых процентов.

В ячейку В1 поместим величину начального значения вклада. В ячейки B2:G2 разместим числа 0, 1,..., 5, в ячейки АЗ:А7 величины 10 %, 20 %,..., 50 % (эти числа заносятся с использованием приемов генерации арифметических прогрессий). Нужно табулировать функцию двух переменных (процентная ставка и количество лет), зависящую от параметра – начального вклада. Введем в ячейку ВЗ формулу =БС ($АЗ, В$2, -$В$1). Формула копируется в остальные ячейки интервала B3:G7. 

Пример 2.4. Ссуда в 20000 долл. дана на полтора года под ставку 28 % годовых с ежеквартальным начислением. Определить сумму конечного платежа.

Здесь базовый период - квартал. Срок ссуды составляет 6 периодов (4 квартала в году, срок полтора года), за период начисляется 7 %=28 %/4. Тогда формула, дающая решение задачи, имеет вид: = БC (28 % / 4, 4 * 1.5, 20000). Она возвращает результат -$ 30014.61. 

Задачи

4. Банк принимает вклад на срок 3 месяца с объявленной годовой ставкой 100 % или на 6 месяцев под 110 %. Как выгоднее вкладывать деньги на полгода: дважды на три месяца или один раз на 6 месяцев?

5. Сумма 2000 руб. размещена под 9 % годовых на 3 года. Проценты начисляются раз в квартал. Какая сумма будет на счете?

6. Какова сумма долга через 26 месяцев, если его первоначальная величина 500 000 долл., проценты сложные, ставка – 20 % годовых, начисление поквартальное? Провести вычисления общим и смешанным методами.

7. В банке получен кредит на сумму 250 млн. руб. Годовая процентная ставка составляет 9,5% при принятой продолжительности года 360 дней. Провести вычисления величины суммы накопленного долга общим и смешанным методами при различном периоде кредитования, продолжительность которого:

равна целому числу лет (без дробной части) – 3 года;

равна одному году;

равна меньше года – 0,25 года;

равна целому числу лет + доля года – 2 года и 270 дней.

Сравнить полученные значения по вариантам и выявить закономерности в различии результатов.

ХI муниципальный конкурс исследовательских работ

Математика

Проценты и их применение

Воронцовой Анастасии,

учащейся 8б класса

МОУ «Еловская СОШ».

Руководитель Халтурина В.В.

учитель математики

Введение

3. Решение задач по формуле сложных процентов

4. Применение процентов в жизни

4.1 Исследование бюджета семьи

4.2 Исследование посещения кружков

Заключение

Список литературы

Приложения

Введение

Почему я выбрала тему «Проценты»?

Проценты – это одна из сложнейших тем математики, и очень многие учащиеся затрудняются или вообще не умеют решать задачи на проценты. А понимание процентов и умение производить процентные расчёты необходимы для каждого человека. Прикладное значение этой темы очень велико и затрагивает финансовую, экономическую, демографическую и другие сферы нашей жизни. Изучение процента продиктовано самой жизнью. Умение выполнять процентные вычисления и расчеты необходимо каждому человеку, так как с процентами мы сталкиваемся в повседневной жизни. Проанализировав программу средней школы по математике, пришла к выводу, что по существующим программам решение задач на проценты предусмотрено в основном в 5-6 классах, а в последующих классах данной теме отдана незначительная часть учебного времени. Немецкий физик 18-го столетия Лихтенберг сказал: « То, что вы были принуждены открыть сами, оставляет в вашем уме дорожку, которой вы сможете снова воспользоваться, когда в том возникнет необходимость». Поэтому я решила и сделала подборку задач из ГИА – 9 классов, из ЕГЭ – 11 классов на банковские проценты, где применяется формула сложных процентов.

Цель исследовательской работы

· Расширение знаний о применении процентных вычислений в задачах и из разных сфер жизни человека;

· Познакомиться с историей возникновения процентов;

· Решать задачи на проценты разными способами;

· Сделать подборку задач из ГИА – 9 кл., ЕГЭ -11кл., решаемые по формуле сложных процентов;

· Исследовать бюджет семьи и посещаемость кружков учащихся моего класса;

· Научиться составлять различные диаграммы и таблицы;

· Поработать в текстовом редакторе;

· Поработать с ресурсами Internet;

· Получить опыт публичного выступления.

1. Из истории происхождения процентов

Слово «процент» происходит от латинского pro centum, что буквально означает «за сотню» или «со ста». Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают целые части чисел в одних и тех же сотых долях. Знак «%» происходит, как полагают, от итальянского слова cento(сто), которое в процентных расчетах часто писалось сокращенно cto . Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошел в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto ввел %.

Проценты применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчетах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого (принимаемого за единицу).

2. Решение задач на проценты разными способами

При решении задач на проценты в 5 - 6 классах применяют следующие правила:

1. Нахождение процентов от числа:

Чтобы найти проценты от числа нужно, проценты превратить в десятичную дробь и умножить на это число.

2. Нахождение числа по его процентам:

Чтобы найти число по его процентам нужно, проценты превратить в десятичную дробь и число разделить на эту дробь.

3. Нахождение процентного отношения чисел:

Чтобы найти процентное отношение чисел, надо отношение этих чисел умножить на 100.

Задачи с процентами можно решить разными способами: уравнением, составлением таблицы, применяя пропорцию, по действиям, используя правила. Сделала подборку и решила задачи из ЕГЭ – 11, ГИА -9 классов.

Некоторые из них:

Задача 1. (ЕГЭ 2005)

За первый год предприятие увеличило выпуск продукции на 8%, в следующем году выпуск увеличился на 25%. На сколько процентов вырос выпуск продукции по сравнению с первоначальной?

Эту задачу можно решить двумя способами:

1) используя пропорцию

2) по действиям

1 способ: Узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за первый год.

Пусть: х – начальный выпуск

у – после увеличения на 8%

х – 100% у = х *8 = 1,08х

у – 108% 100

Теперь, узнаю на сколько увеличился выпуск продукции за второй год.

Пусть: 1.08х – теперь уже начальный выпуск

z – после увеличения на 25%, тогда

1,08х – 100% z= 1,08х *125 = 1,35х

В итоге у нас получилось, что выпуск продукции равен 1,35;

Значит выпуск увеличился на 0,35 или на 35%

1) 1,00+0,08=1,08 (узнали выпуск продукции после первого увеличения)

2)1,00+0,25=1,25 (узнали выпуск продукции после второго увеличения)

3)1,08*1,25=1,35 (это выпуск продукции после двух увеличений)

4)1,35-1,00=0,35 (увеличения выпуска продукции после двух прибавок)

ОТВЕТ: выпуск продукции по сравнению с первоначальной вырос на 35%.

Задача 2(ЕГЭ 2006)

Вследствие инфляции цены выросли на 150%. Дума потребовала от правительства возвращение цен к прежнему уровню. Для этого цены должны быть уменьшены (на сколько процентов)?

Решим эту задачу с помощью пропорций.

Пусть: х – первоначальная цена

у – цена после повышения цен на 150%

х – 100% у = 250х ; у = 2,5х (новая цена)

у – 250% 100

2,5х – 100% 100*х = 40%

х - ?% 2,5х

40% - составила первоначальная цена от инфляции, поэтому цены должны быть уменьшены на 60%

1) 100% - 40% = 60%

ОТВЕТ: цены должны быть уменьшены на 60%.

Тетрадь стоит 40 рублей. Какое наибольшее количество таких тетрадей можно купить на 650 рублей, после понижения на 15%?

Решим эту задачу пропорцией и по действиям.

Пусть: х – на сколько рублей понизилась цена тетрадей.

40 – 100% х = 40*0,15 = 6 (рублей)

х – 15% 100

1) 40 – 6 = 34 (руб.) стала стоить тетрадь

2) 650 * 34 = 19 (тетрадей) можно купить на 650 рублей

ОТВЕТ: 19 тетрадей можно купить на 650 рублей

Сколько граммов воды надо добавить к 50г раствора, содержащего 8% соли, чтобы получить 5% раствор?

Решим эту задачу уравнением.

Пусть: х - количество воды, которое надо добавить

(50+х ) – новое количество раствора

50* 0,08 – количество соли в исходном растворе

0,05(50+х ) количество соли в новом растворе

Так как количество соли от добавления не изменилось, то оно одинаково в обоих растворах – и в исходном, и в новом.

Получаем уравнение:

50*0,08 = 0,05(50+х )

50*8 = 5*(50+х )

400= 250+5х

5х = -150

х = 30 (г.)

ОТВЕТ: 30 граммов воды надо добавить, чтобы получить 5% раствор.

Вывод: решила задачу с помощью уравнения.

Свежие грибы по массе содержат 90% воды, а сухие 12%. Сколько получится сухих грибов из 22 кг свежих?

Решение: решим задачу с помощью таблицы и уравнения.

	%воды	Масса (кг)	% содержания сухого вещества	Масса сухого вещества
свежие	90%	22	10%	22*0,1=2,2
сухие	12%	х	88%	0,88х

Из таблицы видно, что:

х = 2,2 = 2,5кг

Ответ: 2,5 кг сухих грибов.

3. Решение задач на сложные проценты

Сложным процентом называется сумма дохода, которая образуется в результате инвестирования денег при условии, что сумма начисленного простого процента не выплачивается в конце каждого периода, а присоединяется к сумме основного вклада и в следующем платежном периоде сама приносит доход .

Сложные проценты - это проценты, полученные на начисленные проценты.

Формула сложного процента - это формула, по которой рассчитывается итоговая сумма с учётом начисления процентов.

х (1+ 0,01а) n - периодическое увеличение некоторой величины на одно и то же число процентов.

х (1+ 0,01а) n,

где х - начальный вклад, сумма.

а – процент(ы) годовых

n- время размещения вклада в банке

Но, мы можем и уменьшать цену, поэтому эту формулу можно записать и по- другому: х (1- 0,01а) n - периодическое уменьшение некоторой величины на одно и то же число процентов.

Представим, что вы положили 10 000 руб в банк под 10 % годовых.

Через год на вашем банковском счету будет лежать

сумма SUM = 10000 + 10000*10% = 11 000 руб.

Ваша прибыль - 1000 рублей.

Вы решили оставить 11 000 руб. на второй год в банке под те же 10%.

Через 2 года в банке накопится 11000 + 11000*10% = 12 100 руб.

Прибыль за первый год (1000 рублей) прибавилась к основной сумме (10 000р) и на второй год уже сама генерировала новую прибыль. Тогда на 3-й год прибыль за 2-й год прибавится к основной сумме и будет сама генерировать новую прибыль. И так далее.

Этот эффект и получил название сложный процент.

Когда вся прибыль прибавляется к основной сумме и в дальнейшем уже сама производит новую прибыль.

Вкладчик открыл счет в банке, внеся 2000 рублей на вклад, годовой доход по которому составляет 12%, и решил в течение шести лет не брать процентные начисления. Какая сумма будет лежать на счете через шесть лет?

Решим эту задачу по формуле сложных процентов

х (1 + 0,01а ) n ,

где х – первоначальный вклад.

а – процент годовых.

n - время размещения вклада в банке.

Применим эту формулу к нашей задаче