≡× МЕНЮ

• Постройки
• Отделка
• Кладка
• Раствор
• Расчет

Срочный аннуитет. Что такое Аннуитет пренумерандо Для вычисления наращенной суммы простого аннуитета используется

Если на денежные поступления начисляются только сложные проценты, то соответствующие расчетные формулы для наращенных сумм аннуитета пренумерандо легко можно вывести из ранее рассмотренных формул для аннуитета постнумерандо.

Поскольку денежные поступления в аннуитете пренумерандо происходят в начале каждого периода, то этот аннуитет отличается от аннуитета постнумерандо только количеством периодов начисления процентов.

Например, для срочного аннуитета пренумерандо с регулярными денежными поступлениями А и процентной ставкой r , наращенный денежный поток имеет вид:

Следовательно, будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть определена по формуле:

Т.е. наращенная стоимость аннуитета пренумерандо больше в раз наращенной суммы аннуитета постнумерандо.

Аналогичным образом можно получить формулы для определения будущей стоимости аннуитета пренумерандо с начислением процентов m раз в течение базового периода и для р-срочных аннуитетов:

Несколько иной будет ситуация в р-срочном аннуитете пренумерандо, когда на взносы, поступающие в течение базового периода, начисляются простые проценты.

В отличие от аннуитета постнумерандо в этом аннуитете в каждом периоде любой взнос «действует» еще 1/р –ю часть периода, тем самым доставляя к концу периода дополнительную величину .

Следовательно, к концу каждого периода взносы, число которых равно р, доставят величину

Таким образом, на последнее р-е поступление начисляются простые проценты за часть периода, равную 1/р, и оно будет равно предпоследнее (р – 1)-е поступление станет равным и т.д. вплоть до первого поступления, которое станет равным . Следовательно, сумма этих величин, образующих арифметическую прогрессию, равна:

Таким образом, будущая стоимость аннуитета пренумерандо будет равняться:

В случае начисления только сложных процентов формулы для расчетов приведенных стоимостей пренумерандо имеют вид, аналогичный ранее полученным для аннуитета постнумерандо:

Из приведенных формул понятно, почему в финансовых таблицах не уточняется, какая схема подразумевается в финансовой сделке – постнумерандо или пренумерандо. Содержание таблиц инвариантно к этому фактору. Однако, при применении расчетных формул или финансовых таблиц необходимо строго следить за схемой поступления денежных платежей.

Пример.

Ежегодно в начале года в банк делается очередной взнос в размере 10 тыс. грн. Банк платит 20% годовых.

Какая сумма будет на счете по истечении трех лет?

Тыс. грн.

Многие практические задачи могут быть решены различными способами в зависимости от того, какой денежный поток выделен аналитиком. Рассмотрим это на следующем примере.

Пример.

Вам предложено инвестировать 100 тыс. грн. на срок 5 лет при условии возврата этой суммы частями ежегодно по 20 тыс. грн. По истечении 5 лет выплачивается дополнительное вознаграждение в размере 30 тыс. грн.

Следует ли принимать это предложение, если можно депонировать деньги в банк из расчета 12% годовых?

Наращенная сумма депонирования:

Тыс. грн.

В отношении альтернативного варианта, предусматривающего возмещение вложенной суммы частями, предполагается, что ежегодные поступления в размере 20 тыс. грн. можно немедленно пускать в оборот, получая дополнительные доходы. Если нет других альтернатив по эффективному использованию этих сумм, их можно депонировать в банк. В этом случае денежный поток можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с параметрами: А= 20,

n = 5, r = 20% и единовременное получение 30 тыс. грн. в конце периода:

Тыс. грн.

б) как срочный аннуитет пренумерандо с параметрами: А = 20,

n = 4, r = 20% и единовременное получение сумм в 30 и 20 тыс. грн. в конце финансовой операции:

Тыс. грн.

Таким образом, предложение экономически нецелесообразно.

Бессрочный аннуитет.

Аннуитет считается бессрочным, если денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. Математически это означает, что . Характерным примером бессрочного аннуитета являются консоли – выпускаемые правительствами некоторых стран облигации, по которым производят регулярные купонные выплаты, но которые не имеют фиксированного срока. В западной практике к бессрочным относятся аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Бессрочный аннуитет также называют вечной рентой.

Определение будущей стоимости бессрочного аннуитета, естественно, не имеет смысла. Что же касается обратной задачи (определение приведенной стоимости), то она имеет вполне определенное решение.

Поток платежей в постоянном бессрочном аннитете при одном денежном поступлении А за период, являющися базовым для начисления процентов по ставке r, представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию с первым членом и знаменателем . Для бессрочного аннуитета постнумерандо формула для определения приведенной стоимости имеет вид:

где

Приведенная формула показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную стоимость. С финансовой точки зрения это вполне понятно, поскольку деньги, которые поступят через много лет, сейчас мало что стоят, а при высокой инфляции и ничего не стоят. Эта же ситуация проявляется и при сравнении коэффициентов дисконтирования бессрочного аннуитета и аннуитетов с большим сроком Для сравнения приведем в таблице значения FM4(r,n) при r = 10%.

Cрок аннуитета						∞
FM4(r = 10%,n)	9,7791	9,9148	9,9672	9,9873	9,9981

Из приведенной таблицы видно, что при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, коэффициенты дисконтирования аннуитета незначительно отличаются друг от друга.

Кроме того, с ростом процентной ставки величина срока, начиная с которого величина факторного множителя FM4(r,n) перестают сильно отличаться друг от друга, уменьшается. Например, при r = 15% такой срок равняется 40 годам. Таким образом, при больших сроках аннуитета и большом уровне процентной ставки для определения приведенной стоимости срочного аннуитета можно воспользоваться формулой для определения приведенной стоимости бессрочного аннуитета, при этом полученный приблизительный результат будет не слишком отличаться от точного значения.

Приведенная формула используется для оценки целесообразности приобретения бессрочного аннуитета, если известен размер денежного поступления за период. В качестве r обычно принимается гарантированная процентная ставка, например, предлагаемая государственным банком.

Пример.

Необходимо определить текущую стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с ежегодным поступлением 4,2 тыс. грн., если предлагаемый государственным банком процент по срочным вкладам равен 14% годовых.

тыс. грн.

Следовательно, если аннуитет предлагается по цене, не превышающей 30 тыс. грн., то инвестирование в него будет представлять выгодную для инвестора операцию.

С помощью вышеприведенной формулы можно определить истинную стоимость обыкновенной акции в том случае, когда выплачиваются одинаковые дивиденды (равные А) в течение всего времени финансовой операции. При этом предположении темп ростов дивидендов равен нулю и соответствующая модель называется моделью нулевого роста.

Такая ситуация в определенном смысле свойственна привилегированным акциям высокого качества, выплаты дивидендов по которым одинаковы, регулярны и не зависят от величины прибыли на одну акцию, а время обращения привилегированных акций не ограничено.

Пример.

Компания гарантирует выплату дивидендов в размере 6 тыс. грн. на акцию в конце каждого года в течение неопределенно долгого времени.

Имеет ли смысл покупать акции этой компании в течение неопределенно долгого времени по цене 35 тыс. грн., если можно поместить деньги на депозит под 15% годовых?

Из формулы тыс. грн. следует, что истинная стоимость акции составляет 40 тыс. грн. Следовательно, это предложение может быть принято и акции компании можно приобретать.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо с денежными поступлениями р раз за базовый период и начислением сложных процентов m - раз за период может быть получена из следующей формулы:

Пример.

Фирма собирается учредить фонд для ежегодной (в конце года) выплаты пособий своим работникам.

Необходимо определить сумму, которую фирма должна поместить на депозит в банк, чтобы обеспечить получение неограниченно долго в конце каждого года 8 тыс. грн., если банк начисляет:

а) ежегодно сложные проценты по ставке 16%;

б) ежеквартально сложные проценты по ставке 14%;

в) непрерывные проценты с силой роста 13,5%.

Во всех трех случаях денежный поток является бессрочным аннуитетом постнумерандо. Необходимо найти приведенную стоимость такого аннуитета.

а) тыс. грн.

б) тыс. грн.

в) тыс. грн.

Приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо в общем виде определяется с помощью приведенной стоимости бессрочного аннуитета постнумерандо по следующей формуле:

Следовательно, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо отличается от таковой для аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.

Непрерывный аннуитет.

Предположим, что в течение каждого периода времени денежные поступления происходят очень часто, так что промежутки между последовательными поступлениями представляют собой бесконечно малые величины.

В этом случае аннуитет считают непрерывным, т.е. денежные поступления происходят непрерывно с постоянной интенсивностью: одно и то же количество денежных единиц в единицу времени.

Соотношения, характеризующие непрерывный аннуитет, можно вывести из формул для р-срочного аннуитета, переходя в них к пределу при и несколько модифицируя величину члена аннуитета.

Ясно, что непрерывно не может поступать величина А, так как через любой малый промежуток времени накопится бесконечно большая сумма денег.

Считая, что платежи поступают непрерывным образом, рассчитаем будущую стоимость непрерывного аннуитета:

тыс. грн.

Эта же задача может быть решена иначе, если примем р = 360, а А = 40/360:

тыс. грн.

Выполнив расчет видим, что результаты вычислений по двум формулам привели практически к одинаковому результату.

Если проценты начисляются раз за период, то пользуются формулой:

Аннуитет – это общепринятый термин, который означает структуру погашения финансового механизма (ежемесячная оплата кредита, процентов и т.д.).

Аннуитетные выплаты структурируются одинаковыми суммами через одинаковое количество времени. График погашения, предоставленный данным способом, имеет определенные отличия от обычного графика погашения, где вся сумма должника направлена на конец срока финансового механизма. При обычном графике построения выплат сначала происходит оплата процентов, а только потом списывается основная сумма долга.

Иными словами, аннуитет представляет собой определенную систему выплаты задолженности, где сумма долга и процентов выплачиваются равномерно в течение всего срока кредитования. Еще аннуитет называют финансовой рентой, что по своей составляющей одно и то же.

Например, если заработная плата работнику начисляется каждый месяц в равном количестве, то данный доход является аннуитетным. При оформлении рассрочки в магазине на какой-либо товар, ежемесячный платеж в банк тоже будет иметь статус аннуитета.

Виды аннуитета

Сумма аннуитетного платежа всегда складывается из основного долга и процентных соотношений. В своем понятии данный термин имеет широкий охват: аннуитетом могут считаться:

• срочный государственный заем в виде кредита, где ежегодно происходит оплата процентов и частично оплачивается сумма долга;
• обыкновенный кредит для физических и юридических лиц;
• страховой договор, который позволяет физическому лицу, заключившему его, рассчитывать на определенные выплаты по истечению заявленного срока времени (к примеру, выход на пенсию);
• серия страховых выплат (например, при несчастном случае).

Аннуитет всегда устанавливается банковскими организациями индивидуально для каждого клиента. Он бывает двух видов:

• аннуитет постнумерандо, где платеж должен осуществляться во второй половине отчетного периода;
• аннуитет преднумерандо, где платеж должен осуществляться в первой половине отчетного периода.

Также аннуитет делится на:

При срочном аннуитете средства зачисляются в определенный период, который имеет ограниченное количество времени. Поступление денег характеризуется равными частями и через одинаковый промежуток времени. Расчет данного вида аннуитета происходит по системе наращения или по системе дисконтирования. Дисконтирование – это выявление стоимости выплат при помощи изучения денежных поступлений к определенной временной точке. Проще говоря, это анализ соотношения будущих доходов к их сегодняшней стоимости. Примерами срочных аннуитетов могут быть разного рода платежи за аренду жилья, земли и др.

Бессрочным аннуитетом принято считать равные выплаты через равный промежуток времени в течение долгого срока. Консоль является отличным примером для понимания специфики бессрочного аннуитета. Данные облигации, поддерживаемые государством, имеют срок действия более 30 лет.

Аннуитетные выплаты имеют различие по количеству выплат. Они могут выплачиваться как один раз в год, так и несколько раз в течение года (при срочном аннуитете).

Начисление процентов может происходить один раз в год, несколько раз в год или непрерывно. Этот вопрос всегда решается в индивидуальном порядке между банковской организацией и клиентом.

В зависимости от финансовой ситуации в стране или политики банка, могут устанавливаться:

Для того, чтобы определить сумму равных выплат по кредитованию в течение определенного времени, необходимо рассчитать коэффициент аннуитета, который способен преобразовать единовременную выплату в платежный график.

Расчет аннуитета (формулы)

Для расчета данного коэффициента используется специальная общепринятая формула:

С практической точки зрения могут возникать некоторые расхождения от математического расчета при помощи формулы: для удобства совершения платежа может быть применена система округления суммы выплат или же округление суммы проводится из-за разного числа дней в том или другом месяце. В особенности это касается последнего месяца в графике платежей. По факту, замыкающая список сумма всегда отличается в меньшую сторону на некоторое значение.

Практически всегда при аннуитете платежи производятся в конце отчетного периода – постнумерандо. В данном случае, сумма выплаты за период должна рассчитываться по другой формуле:

Для того, чтобы более детально рассмотреть структуру аннуитетных платежей, стоит решить простую задачку. Например, нужно рассчитать ежемесячную выплату по кредиту сроком на пять лет и с суммой в 30 тысяч рублей под 8% годовых. Выплаты будут осуществляться ежемесячно, то необходимо перевести годовую процентную ставку в месячную. Делается это по довольно простой формуле:

Далее нужно подставить в формулу значения i = 0.00643 и n = 60 (5 лет – это 60 месяцев). Полученный коэффициент нужно умножить на величину кредита – 30000. В итоге получаем, что сумма ежемесячного платежа равна примерно 603 рубля.

Выплата кредитного займа происходит обычно каждый месяц или каждый квартал. При таких выплатах задается годовая процентная ставка i. При условии, что выплаты назначаются постнумерандо m раз в год за n лет, то существует формула, которая отличается от предыдущей формулы повышенной точностью расчета аннуитетного коэффициента:

Указанная формула для расчета коэффициента аннуитетных платежей основывается на наращении величины долговой суммы при помощи сложной процентной формулы. В банковских расчетах имеется еще одна формула для определения коэффициента, которая основывается на наращении величины долговой суммы при помощи простой процентной формулы. Отличительная черта простых и сложных процентов – это отсутствие промежутка в капитализации процентных соотношений. В данном раскладе будет в первую очередь производиться погашение основного долга, а уже после его оплаты пойдет оплата процентов.

Стоит отметить, что выполнять все вышеперечисленные действия собственноручно – это очень долго и трудоемко. Уйдет большое количество времени, чтобы разобраться в одним человеком, а если нужно рассчитать несколько сотен аннуитетов, то ситуация для простого сотрудника банка окажется совершенно невыполнимой. Поэтому при оформлении кредита работники банковских организаций имеют в своем арсенале специальные калькуляторы и программы, где нужно только правильно вписать числовые значения, и они самостоятельно рассчитают график аннуитетных платежей для каждого клиента.

Достоинства аннуитетных платежей

Аннуитетные платежи являются одним из современных способов погашения кредитного долга перед банком. Данный вариант оплаты долгового обязательства не всегда является выгодным для клиента, но отличается повышенным удобством – отсутствует неразбериха «когда платить и в каком количестве». Платеж по кредиту поступает ежемесячно в одно и то же время и в одинаковом денежном эквиваленте. Это огромный плюс для клиента и для банковской организации: нет нужды идти в банк и брать расчетный лист для выявления суммы долга на последующий месяц.

Помимо этого данный способ оплаты кредита предпочтителен для тех лиц, которые имеют невысокий заработок.

Вместе с аннуитетными платежами существует оплата кредитного долга по дифференцированной системе, где выплаты ежемесячно подвергаются перерасчету, потому что происходит оплата части процентов от конечной величины долга клиента. С каждым месяцем после оплаты кредита сумма долга уменьшается и, соответственно, процентная величина также изменяется. Выходит, что каждый месяц необходимо вносить все меньшее количество денег, но первоначальные суммы платежа достаточно высокие и не каждое лицо имеет возможность их вносить.

Недостатки

У данного вида платежей имеется один большой минус: первоначально выплаты строятся с преобладанием процентного эквивалента, т.е. сумма долга строится на 2/3 из процентов, а 1/3 – это сумма долга.

Аннуитет является выгодным банковской организации: сначала банк обезопасит себя, забрав проценты, а потом уже «примет» кредитные деньги.

Если клиент намерен досрочно погасить свой долг, то эту операцию следует произвести до того момента, как будут выплачены проценты. Данная операция практически не будет иметь смысла при погашении «после» — сумму, отданную за проценты, никто не вернет. В таком случае досрочное погашение просто избавит от кредитного обязательства.

Подведя итог, можно сказать, что аннуитет – это хороший выход для заемщиков, которые имеют долговое обязательство и не обладают высоким уровнем дохода. Ведь всегда легче и проще платить раз в месяц одинаковую сумму в один и тот же день.

Денежный поток - это движение денежных средств в реальном времени, по сути, денежный поток это разность между суммами поступлений и выплат денежных средств компании за определенный период времени, как за этот промежуток берется финансовый год. В основе управления денежными потоками лежит концепция денежного кругооборота. Например, деньги конвертируются в запасы, дебиторскую задолженность и обратно в деньги, замыкая цикл движения оборотного капитала компании. Когда денежный поток уменьшается или перекрывается полностью, возникает явление неплатежеспособности. Недостаток денежных средств предприятие может ощутить даже в том случае, если формально оно остается прибыльным (например, нарушаются сроки платежей клиентами компании). Именно с этим связаны проблемы доходных, но неликвидных компаний, стоящих на грани банкротства.

Анализ движения денежных потоков - это по сути определение моментов и величин притоков и оттоков денежной наличности. Основной целью анализа денежных потоков - является прежде всего, анализ финансовой устойчивости и доходности предприятия. Его исходным моментом является расчет денежных потоков, прежде всего, от операционной (текущей) деятельности.

Одним из основных элементов финансового анализа является оценка денежного потока С1, С2,..., Сn, генерируемого в течение ряда временных периодов в результате реализации какого-либо проекта или функционирования того или иного вида активов. Элементы потока Сi могут быть либо независимыми, либо связанными между собой определенным алгоритмом. Временные периоды чаще всего предполагаются равными. Хотя данное условие в принципе не является обязательным, в дальнейшем мы будем придерживаться его. Кроме того, для простоты изложения материала предполагается, что элементы денежного потока являются однонаправленными, т.е. нет чередования оттоков и притоков денежных средств. Также считается, что генерируемые в рамках одного временного периода поступления имеют место либо в его начале, либо в его конце, т.е. они не распределены внутри периода, а сконцентрированы на одной из его границ. В первом случае поток называется потоком пренумерандо, или авансовым, во втором -- потоком постнумерандо (рис.1)

Рисунок 1. Графическое представление потоков постнумерандо и пренумерандо.

В каждой из приведенных на рис. 1 ситуаций финансовая операция, в результате которой будут иметь место притоки денежных средств CF k , осуществляется в виде пяти базисных периодов, при этом ее начало имеет место в начале 1-го базисного периода {отмечено цифрой 0), а конец -- в конце 5-го базисного периода (отмечено цифрой 5). По сравнению с (а) в случае (б) денежный поток как бы сдвинут влево на один интервал; это означает, что денежные притоки (или оттоки) будут иметь место раньше.

На практике большее распространение получил поток постнумерандо; в частности, именно этот поток лежит в основе методик анализа инвестиционных проектов. Некоторые объяснения этому можно дать, исходя из общих принципов учета, согласно которым принято подводить итоги и оценивать финансовый результат того или иного действия по окончании очередного отчетного периода. Что касается поступления денежных средств в счет оплаты, то на практике оно чаще всего распределено во времени неравномерно и потому удобнее условно отнести все поступления к концу периода. Благодаря этому соглашению формируются равные временные периоды, что позволяет разработать удобные формализованные алгоритмы оценки. Поток пренумерандо имеет значение при анализе схем накопления денежных средств для последующего их инвестирования. Практически любая финансовая операция (F0) может быть выражена в терминах денежного потока и описана следующей моделью:

Модель (1) может быть использована для оценки внутренней стоимости финансового актива, определения доходности финансовой операции или финансового актива, расчета целесообразности принятия или непринятия инвестиционного проекта и др. В основе соответствующих счетных алгоритмов -- операции наращения и дисконтирования, связанные с оценкой соответствующего денежного по тока. Оценка потока может выполняться в рамках решения двух задач; (а) прямой, т. е. проводится оценка с позиции будущего (реализуется схема наращения); (б) обратной, т, е. проводится оценка с позиции настоящего (реализуется схема дисконтирования).

Аннуитет - капиталовложения, которые обеспечивают инвестору фиксированный доход через регулярные отрезки времени. Аннуитет - это вид финансовой ренты, это серия платежей одинаковой суммы, регулярно поступающих через равные промежутки времени в течение определенного числа лет.

Денежный поток с равными интервалами и равными поступлениями денежных средств называется финансовой рентой, или аннуитетом.Существует несколько видов аннуитетов:

• 1. По времени наступления платежей различают два типа аннуитета :
  • · обыкновенный (постнумерандо) аннуитет - когда платежи происходят в конце каждого периода
  • · авансовый (пренумерандо) аннуитет - когда платежи происходят в начале каждого периода.
• 2. По продолжительности денежного потока различают следующие виды аннуитета :
  • · срочный аннуитет - денежный поток с равными поступлениями в течение ограниченного промежутка времени;
  • · бессрочный аннуитет - аннуитет, при котором денежные поступления продолжаются достаточно длительное время.
• 3. По характеру образования выделяют следующие виды аннуитета :
  • · внутренний аннуитет - это потоки платежей, образованных внутри данного предприятия;
  • · внешний аннуитет - это потоки платежей, образованных за пределами предприятия.

Таким образом, аннуитет представляет собой ряд последовательных фиксированных платежей, производимых через равные промежутки времени.

Аннуитеты характеризуются такими параметрами, как величина каждого отдельного платежа, период аннуитета, срок аннуитета, частота начисления процентов и процентной ставкой. Обобщающими показателями аннуитета являются настоящая и будущая стоимость.

Классификацию аннуитетов наглядно иллюстрирует рисунок 2.

Под срочным аннуитетом понимается денежный поток с поступлениями в течение ограниченного времени (срочный денежный поток) с равными по величине поступлениями денежных средств через равные промежутки времени. По моменту поступления денежных средств различают срочные аннуитеты пренумерандо и постнумерандо.

Срочный аннуитет постнумерандо можно рассчитать как по схеме наращения, так и по схеме дисконтирования.

Формула оценки срочного аннуитета постнумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FVpst = PV (1 + r)n-1 + PV (1 + r)n - 2 + ... + PV (1 + r) + PV

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме наращения имеет следующий вид:

FVpre=FVpst(l+ r) = PV [(1 +r)n- 1] (1 + r)/r

Формула оценки срочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PVpre = PVpst(l + r) = FV (1 + r) / r

постнумерандо аннуитет авансовый инвестиционный

Рисунок 2. Виды аннуитетов.

Под бессрочным аннуитетом (вечная рента) понимается денежный поток с равными по величине поступлениями денежных средств в течение длительного срока через равные интервалы времени. Примером бессрочного аннуитета являются консоли (консолидированная рента) -- долгосрочные государственные облигации со сроком обращения, превышающим 30 лет.

В случае бессрочного аннуитета поток равных платежей через равные интервалы в течение длительного периода времени рассматривается как бесконечный. При этом подразумевается, что в рамках выбранного интервала осуществляется только один платеж. В этой связи бессрочный аннуитет математически можно представить как бесконечность (n -> ?) или как бесконечно убывающую геометрическую прогрессию.

Бессрочный аннуитет (как разновидность денежного потока) можно классифицировать по моменту поступлений в выбранном интервале времени на потоки пренумерандо и постнумерандо. Однако, в отличие от других денежных потоков, которые можно рассчитывать как по схеме наращения, так и дисконтирования, оценка бессрочного аннуитета способом наращения не имеет смысла, так как поток стремится к бесконечности и нельзя определить п. Поэтому единственным способом остается обратный способ (способ дисконтирования).

При этом сначала рассчитывается приведенная стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо, а затем с его помощью приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо. Классификация способов оценки бессрочных аннуитетов приведена в таблице 1.

Таблица 1. Способы оценки бессрочных аннуитетов

Формула оценки бессрочного аннуитета постнумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PVpst=A/r

где А -- одно денежное поступление за выбранный временной интервал.

Данная формула показывает, что приведенную стоимость можно рассчитать даже для денежного потока с неограниченным количеством платежей. Так, при сроке аннуитета, превышающем 50 лет, и процентной ставке, равной 10%, разница между значениями коэффициентов дисконтирования незначительная. Чем выше значение процентной ставки, тем меньше срок, при превышении которого разница между значениями коэффициента дисконтирования становится несущественной.

Формула оценки бессрочного аннуитета пренумерандо по схеме дисконтирования имеет следующий вид:

PVpre = PVprs + A

где PVpre -- поток пренумерандо;

PVpre -- поток постнумерандо;

А -- величина первого платежа.

Как следует из данной формулы, приведенная стоимость бессрочного аннуитета пренумерандо превышает приведенную стоимость бессрочного аннуитета постнумерандо на величину первого платежа.

В большинстве современных коммерческих операций подразу­меваются не разовые платежи, а последовательность денежных поступлений (или, наоборот, выплат) в течение определенного периода. Это может быть серия доходов и расходов некоторого предприятия, выплата задолженностей, регулярные или нерегу­лярные взносы для создания разного рода фондов и т. д. Такая последовательность называется потоком платежей.

Поток. однонаправленных платежей с равными интервалами между последовательными платежами в течение определенного количества лет называется аннуитетом (финансовой рентой).

Теория аннуитетов является важнейшей частью финансовой математики. Она применяется при рассмотрении вопросов доход­ности ценных бумаг, в инвестиционном анализе и т. д. Наиболее распространенные примеры аннуитета: регулярные взносы в пен­сионный фонд, погашение долгосрочного кредита, выплата про­центов по ценным бумагам.

Аннуитеты различаются между собой следующими основными характеристиками:

• величиной каждого отдельного платежа;
• интервалом времени между двумя последовательными плате­жами (периодом аннуитета);
• сроком от начала аннуитета до конца его последнего периода (бывают и неограниченные по времени - вечные аннуитеты);
• процентной ставкой, применяемой при наращении или дис-контировании платежей.

Аннуитет, для которого платежи осуществляются в начале со­ответствующих интервалов, носит название аннуитета пренуме-рандо; если же платежи осуществляются в конце интервалов, мы получаем аннуитет постнумерандо (обыкновенный аннуитет) -по­жалуй, самый распространенный случай.

Наибольший интерес с практической точки зрения представля­ют аннуитеты, в которых все платежи равны между собой (посто­янные аннуитеты), либо изменяются в соответствии с некоторой закономерностью. Именно такие аннуитеты мы и изучим в даль­нейшем.

Введем следующие обозначения:

Р - величина каждого отдельного платежа;

ic -сложная процентная ставка, по которой начисляются проценты;

Sk -наращенная сумма для k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

S- наращенная (будущая) сумма всего аннуитета постнуме­рандо (т. е. сумма всех платежей с процентами);

Ak -современная величина k-го платежа аннуитета постну­мерандо;

А - современная величина всего аннуитета постнумерандо (т. е. сумма современных величин всех платежей);

Sп - наращенная сумма аннуитета пренумерандо;

Aп -современная величина аннуитета пренумерандо;

n - число платежей.

Рассмотрим аннуитет постнумерандо с ежегодными платежами Р в течение п лет, на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке i c (рис. 5).

Рис. 5.

Сумма S 1 для первого платежа, проценты на который будут на­числяться, очевидно, (n - 1) раз, составит по формуле (3.1):

S 1 = Р(1 + i c) n-1

Для второго платежа (проценты на него будут начисляться на один год меньше) имеем

Sn=P Тогда для общей наращенной суммы имеем

• (7.1)

где ki,n- коэффициент наращения аннуитета с параметрами i, n - представляет собой, как можно заметить, сумму членов гео­метрической прогрессии, для которой первый член a 1 равен 1, а знаменатель (назовем его q)составляет (1 + i c).

Используя математическую формулу для суммы членов геомет­рической прогрессии:

запишем выражение (7.1) в более удобном для вычислений виде:

Для коэффициента наращения, соответственно, имеем

Найдем теперь современную величину А данного аннуитета (рис. 6).

Рис. 6.

При заданной процентной ставке ic современное значение каж­дого платежа будет определяться по формуле:

Современная величина всего аннуитета, следовательно, соста­вит

где ai,n - коэффициент приведения аннуитета, опять является суммой геометрической прогрессии, теперь уже с параметрами а 1 =q=1/(1 +i c).

Тогда для ai,n получаем выражение:

для современной величины А соответственно

Как видим, современная величина и наращенная сумма анну­итета связаны между собой соотношением:

S=A(1+i c) n (7.6)

Из полученных формул путем преобразований легко получить еще несколько формул.

Так, для определения размера очередного платежа (Р) имеем

Для определения срока аннуитета (п), при прочих заданных условиях, получаем

Для конкретных вычислений выбирается одна из двух формул каждой пары в зависимости от заданных известных величин.

Очевидно, отличие от предыдущего случая состоит здесь в том, что период начисления процентов на каждый платеж увеличива-

Рис. 7. Будущая стоимость аннуитета пренумерандо

ется на один год, т. е. каждая наращенная сумма Skувеличивается в (1 + ic)раз. Следовательно, для всей суммы Sпимеем

Для коэффициента наращения аннуитета пренумерандо k п i,n по­лучаем следующее соотношение:

Можно также заметить, что для определения современных зна­чений каждого платежа дисконтирование по заданной ставке ic проводится на один раз меньше, чем в случае аннуитета пренуме­рандо. Поэтому каждая современная величина Аkбудет больше в (1 +0 раз. Таким образом,

А для коэффициента приведения а п i,n получаем

a п i,n =a i,n (1+i c) (7.14)

Для нахождения размера платежа и срока аннуитета пренуме­рандо можно по формулам (7.11) и (7.13) найти для заданных зна­чений Sпи Aп соответствующие значения Sи А и пользоваться далее формулами, выведенными для аннуитета постнумерандо.

Для определения коэффициентов наращения и приведения обыкновенного аннуитета существуют таблицы, которыми удобно пользоваться в практических

вычислениях. Максимальные процентные ставки в таких таблицах обычно не превышают 30-40%, что значительно ниже размера процентных ставок, применяемых в России в настоящее время. Но нужно иметь в виду, что п в данном случае - не число лет, а число периодов одинаковой про­должительности (день, месяц, квартал и т. д.), в которых принята данная процентная ставка. Таким образом, если задана годовая процентная ставка, можно найти эквива­лентную ей ставку на более коротком интервале и рассмат­ривать далее п как число таких интервалов.

Если срок аннуитета n не ограничен, мы получаем случай веч­ного аннуитета. Для аннуитета постнумерандо выражения для на­ращенной суммы и современной величины приобретут следую­щий вид:

Для аннуитета пренумерандо, соответственно, получаем

Таким образом, различие между двумя типами вечных аннуи­тетов, естественно, сказывается на определении их современной величины.

Не менее важен случай, когда последовательность платежей из­меняется по некоторому закону, и, следовательно, также может быть описана с помощью математических средств.

Рассмотрим обыкновенный аннуитет, в котором платежи по­стоянно увеличиваются на определенную положительную величи­ну h,т. е. являются членами арифметической прогрессии с пер­вым членом a1 = Р и разностью h. Т. е. платежи представляют собой ряд:

Р, Р+ h, Р+ 2h,... Р+ (п- 1)h.

Для наращенной суммы всего аннуитета получаем следующее выражение:

S=Р(1+ i c) n-1 + (Р+ h)(1+ ic) n-2 + (р+ 2h)(1+ ci) n-3 +...+ [Р+ (n -1)h].

Умножим обе части данного равенства на (1 + ic) вычтем первое выражение из полученного после умножения:

S ic= P(1+ ic)n -[Р+(п -1)h]+h(1+ ic)n-1+ h(1+ ic)n-2+...+ h(1+ ic).

Видно, что часть полученного равенства представляет собои сумму членов геометрической прогрессии, где a1= h{1+ ic); q = = (1 + ic). После несложных преобразований получаем:

Найдем теперь современное значение аннуитета А.

Умножим обе части равенства на (1 + i c) n .

A(1+i c) n =P(l+i c) n-1 +(P+ h)(1+i c) n-2 + ... + =S.

Как видим, в данном случае верна формула (7.6), полученная ранее для обыкновенного аннуитета:

А (1 + i с) n - S,

Возможен также случай, когда платежи постоянно возрастают в q раз, т. е. являются членами геометрической прогрессии:

Р, Pq, Pq 2 , ... , Pq n-1 , Тогда для наращенной суммы аннуитета имеем

S=Р[(1+ i c) n-1 + q(1+ i c) n-2 +/(1+ i c) n-3 +...+q n-1 ].

В квадратных скобках мы получили геометрическую прогрес­сию с первым членом а1 =(1 + ic)nи знаменателем q/(1 + ic). Ис­пользуя опять формулу для суммы геометрической прогрессии, получаем выражение для S:

S=P/.

Очевидно, чтобы найти современное значение аннуитета А, здесь также можно применить формулу (7.6):

A=P/.

Теперь мы имеем возможность решить пример по определению потока платежей произвольной величины.

Найти современную величину потока платежей, определяемого следующим образом: первый год - поступления 500 ам. долл., второй год - поступления 200 ам. долл., третий год - выплата 400 ам. долл., далее в течение семи лет - доход по 500 ам. долл. Став­ка дисконтирования - 6% годовых. Решение

В данном примере поток платежей в течение последних семи лет представляет собой постоянный аннуитет. По формуле (7.5) мы можем рассчитать его современную величину aq. Нельзя за­бывать, что это будет современная величина на момент начала четвертого периода:

500 5,58 = 2791 (ам. долл.)

(коэффициенты приведения находим по таблице 4 Приложе­ния 2). Далее, используя формулу (3.11), находим современные значения на момент начала потока платежа для всех оставшихся платежей и величины aq:

А1 = 500 0,953 = 471,5 (ам. долл.);

A2 =200 0,89 = 178 (ам. долл.);

А3 = 400 0,840 =336 (ам. долл.);

А4=2791 0,840 = 2344,44 (ам. долл.).

Складывая получившиеся величины, находим современную ве­личину всего потока платежей:

A =A1 +А2+ А3+ А4= 2657,94 ам. долл.

Современная величина аннуитета

Во всех случаях, когда в произвольном потоке пла­тежей встречаются серии, которые могут быть опи­саны как постоянные или изменяющиеся по некоторому за-

кону аннуитеты, следует обращать внимание на начальный момент и срок этих аннуитетов, не совпадающие с началь­ным моментом и сроком полного потока платежей.

Следующий этап нашего изучения -конверсия аннуитетов. Под конверсией аннуитета понимается такое изменение на­чальных параметров аннуитета, после которого новый аннуитет был бы эквивалентен данному.

Два аннуитета считаются эквивалентными, если равны их со­временные величины, приведенные к одному и тому же моменту времени.

На практике необходимость рассчитать параметры эквивалент­ного аннуитета чаще всего возникает при изменении условий вы­платы долга, погашения кредита или займа и т. п. При этом кон­версия может произойти как в момент начёта аннуитета (на этот момент и рассчитываются современные величины эквивалентных аннуитетов), так и после выплаты некоторой части аннуитета. В последнем случае все расчеты производятся на остаток долга в момент конверсии.

Рассмотрим наиболее распространенные случаи конверсии по­стоянных аннуитетов.

1. Через некоторый промежуток времени n0 (он может быть равен и 0)после начала аннуитета весь остаток долга может быть выплачен за один раз (выкуп аннуитета). Очевидно, что в этом случае величина выплачиваемой суммы будет равна современной величине остатка аннуитета, рассчитанной для срока n1 = n- n0.

• 2. Может возникнуть задача, обратная предыдущей: задолжен­ность погашается частями, в виде выплаты постоянного аннуите­та, и требуется определить один из параметров аннуитета при за­данных остальных. Поскольку здесь известна сумма долга, т. е. современная величина аннуитета, для нахождения неизвестного параметра используем формулы (7.8)или (7.10).
• 3. Период выплаты долга может быть изменен при сохранении прежней процентной ставки. Величину Р1 платежа для срока n1 находим, используя уравнения эквивалентности (приравниваются современные значения аннуитетов):

Очевидно, что. если срок аннуитета увеличится, значение Р со­кратится. и наоборот.

4. Может возникнуть ситуация, когда величина платежа P дол­жна быть изменена в ту или другую сторону. Рассмотрим данный случай на примере 28.

Для погашения кредита, выданного под сложную процентную ставку 4%годовых, в течение 10лет должны вноситься ежегодные платежи в размере 5 000ам. долл. Изменившиеся условия дают возможность с самого начала вносить по 7 500ам. долл. Опреде­лить новый срок n1, за который долг будет полностью выплачен. Решение

Рассчитаем сначала современную величину имеющегося анну­итета (которая и представляет собой величину долга на начальный период). По формуле (7.5)получаем

А= 5 000 /0,04 - 40554,5(ам. долл.). Далее для изменившегося Р найдем коэффициент приведения аннуитета по той же формуле:

аi,n =А/Р 1 = 40554,5ам. долл./ 7500ам. долл. = 5,4.

Используя таблицу 4Приложения 2найдем значение n 1 , более всего подходящее данному коэффициенту при процентной ставке4%, округляя его в меньшую сторону: n 1 = 6. Поскольку значениеn1найдено приближенно, необходимо рассчитать современное значение нового аннуитета:

А1 = 7 500 /0,04 = 39 316(ам. долл.). Если величины платежей изменяться не могут, недостающая сумма A0 = 40 554,5 - 39316 = 1238,5(ам. долл.) должна быть выплачена кредитору сразу. (Пример, когда в такой ситуации кор­ректируются величины платежей, рассматривается в конце этого раздела).

5. Начало выплаты задолженности при заданной процентной

ставке ic может быть отсрочено: а) при сохранении размера платежа; б) при сохранении срока выплаты.

Очевидно, что в первом случае должен увеличиться срок анну­итета, а во втором -величина платежа.

Обозначим через n 0 период отсрочки. Тогда на момент начала выплаты, сумма долга а1, которая должна являться современной величиной нового аннуитета, составит по формуле сложного про­цента:

A1=A(1+ic) n0 . Отсюда получаем уравнение эквивалентности:

Р = P (1 + i c) n0

Далее поступаем аналогично рассмотренным ранее случаям. В первом варианте находим значение n1 продолжительности нового аннуитета при заданном значении Р1 = Р (n1 будет найдено при­ближенно, поэтому потребуется выплата компенсирующей сум­мы, см. пример 28). Во втором - величину платежа Р1 при n 1 = = n – n 0 .

6. В некоторых случаях может потребоваться объединение не­скольких аннуитетов в один (консолидация аннуитетов). При этом объединяемые аннуитеты могут быть любыми, а в искомом объединяющем аннуитете один из параметров неизвестен при всех остальных заданных.

Два аннуитета с параметрами:

• 1) величина платежа - 2 000 ам. долл., процентная ставка - 5% годовых, срок - 12 лет;
• 2) величина платежа - 3 500 ам. долл., процентная ставка - 6% годовых, срок - 10 лет;

требуется заменить одним - со сроком 10 лет и процентной став­кой 6% годовых.

Определить величину нового платежа.

Найдем сначала общую современную величину двух аннуите­тов. По формуле (7.5) имеем

А = A1 +A2=2000/0,05+ + 3 500 /0,06 = = 17 726,5 + 25 760,3 = 43 486,8 (ам. долл.). Далее по формуле (7.7) находим величину нового платежа:

Р = 43 486,8 0,06/ = 5 930 (ам. долл.).

Нам остается теперь рассмотреть важное практическое прило­жение теории аннуитетов - составление различных вариантов (планов) погашения задолженности. При составлении плана по-

гашения интерес представляют размеры периодических платежей заемщика - выплаты процентов и выплаты по погашению основ­ной суммы долга - при различных условиях погашения (такие платежи носят название срочных уплат).

Основных вариантов погашения задолженности - пять:

• 1. Займы без обязательного погашения, по которым постоянно выплачиваются проценты. Задача в данном случае заключается в нахождении размера выплачиваемой суммы Р при заданной про­центной ставке /. Мы имеем здесь случай вечного аннуитета. Раз­мер платежа определяется по формуле (7.15), из которой получаем P=Ai c .
• 2. Погашение долга в один срок

Если заемщик должен вернуть всю сумму долга в конце срока, целесообразным бывает создание погасительного (амортизацион­ного) фонда, для чего периодически вносятся определенные сум­мы, на которые начисляются проценты.

Если процентная ставка, под которую вносятся средства, не превышает размеров ставки, под ко­торую выдается заем, создание погасительного фонда не имеет смысла. Выгоднее сразу расплачиваться этими сум­мами с кредитором.

Введем обозначения:

D- основная сумма долга (без процентов);

i c -ставка процента по займу;

I - процент по займу;

Р - размер взноса в погасительный фонд;

g -ставка, по которой начисляются проценты на взносы в фонд;

У - величина срочной уплаты;

n -срок займа.

Найдем величину срочной уплаты У и ее составляющих (К=1+Р).

По определению I = D i c .

Сумма, накопленная в погасительном фонде за n лет, т. е. на­ращенная сумма аннуитета с параметрами Р, п, g, должна соста­вить величину D. По формуле (7.2) получаем

D = Р[(1 +g)n-1]/g. Отсюда

P=Dg/[(1 +g)n-1].

Значит, в данном случае величина срочной уплаты определяет­ся формулой:

Y=Di c + Dg/[(1+ g) n -1]. (7.23)

Если проценты не выплачиваются, а присоединяются к основ­ной сумме долга, то срочная уплата будет состоять только из взно­сов в погасительный фонд.

Общая сумма долга составит по формуле (3.1) величину D(1 + ic)n, откуда получаем

Y= Р= D(1 +i c) n g/[(1+g) n -1].

3. Погашение долга равными суммами

Пусть долг погашается в течение n лет равными суммами, а проценты периодически выплачиваются. Тогда на погашение по­стоянно идут платежи размером D/n, а процентные выплаты еже­годно сокращаются, так как уменьшается основная сумма долга. Обозначим

Dk- сумма долга после k-го года:

Ik - процентная выплата за k-й год. Тогда

D1= D- D/n = D(1 -1/n);

На конец второго года получаем D2= D1- D/n= D(1 -2/);

I2= D(1- 1/n)ic;

Y2 = D(1 -1/n) ic+ D/n,и т. д.

Для определения размера срочной уплаты и процентного пла­тежа после k-го года получаем Dk= D(1- k/n);

Ik= D(1 -(k-1)/n] ic:

Yk= D ic+ D/n.

На конец срока, т. е. n-го года имеем

Dn= D(1- n/n) = 0:

Yn= D |1 – (n -1)/n] ic+ D/n = D (1 + ic)/n. Видно, что самые большие суммы приходится платить в начале периода погашения, что может в большинстве случаев расцени­ваться как недостаток этого метода погашения задолженности.

4. Погашение долга с использованием постоянных срочных уплат

Пусть займ величиной D, выданный пол сложную годовую про­центную ставку ic, погашается в течение /; лет равными срочными уплатами Y= 1 + Р. Понятно, что со временем составляющая I

• (проценты по займу) будет уменьшаться, так как уменьшается ос­новная сумма задолженности. Соответственно, составляющая Р (сумма, идущая на погашение займа) будет увеличиваться.

Выведем формулы для расчета суммы процентных денег и сум­мы на погашение долга на конец k-го года.

Периодическая выплата постоянной суммы Y при заданной процентной ставке ic в течение п лет является аннуитетом с соот­ветствующими параметрами.

Поэтому величина срочной уплаты определяется по формуле (7.9):

Y= D/a i,n (a i,n - коэффициент приведения ренты).

Обозначив через Рk сумму, идущую на погашение займа в кон­це k-го года, запишем следующие соотношения:

• 1)I k +P k =I k+1 +P k+1 ;
• 2) D k = D k-1 - P k ;
• 3) I k = D k-1 i с. откуда D k-1 = Ik/ic;
• 4) Ik+1= Dkic, откуда Dk =Ik+1/ic

Подставляя выражения 3) и 4) в соотношение 2), получим

Ik+1/ic=Ik/i c -рk, откудаi k+1 =Ik-P k i c Перепишем выражение 1), используя последнее равенство:

Ik+ Pk= Ik- Pkic+ Pk+1

откуда получаем

Pk+1=Pk(1+ic)=P1(1+ic) k

Так как I 1 = Di c для Р, получаем

P1=D/a i,n -Di c =D (l/a i,n -ic). Следовательно,

Pk=D(1/a i,n -ic)(1+ic) k-1

Ik=D k-1 ic =Dic/с - D (1/a i,n -ic)[(1 + i c) k-1 ].

Когда займ погашается постоянными срочными уплатами, их величина может быть заранее задана, и тогда возникает задача определения периода погашения долга п. Вопрос определения срока аннуитета рассматривался ранее в связи с конверсией анну-

итетов. При этом для выполнения принципа эквивалентности не­обходимо было доплатить недостающую сумму (возникающую в результате округления полученного п) в начале периода погаше­ния. Вместо этого возможно также небольшое изменение размера срочных уплат.

Рассмотрим для прояснения ситуации пример.

Займ в размере 12000 ам. долл. выдан под сложную процент­ную ставку 4% годовых. Определить продолжительность периода погашения, если заемщик собирается выплачивать ежегодно по 1 500 ам. долл. Составить график погашения долга.

Рассчитаем сначала коэффициент приведения аннуитета ад д:

a 4,n = A/Р = 12 000 ам. долл./l 500 ам. долл. = 8.

По таблице определим приблизительно п, соответствующее данному коэффициенту и процентной ставке 4%. Так как nп = 10 соответствует коэффициент а 4,10 =8,11, возьмемnп = 9 и рассчи­таем для этого срока и современной величины А = 12 000 ам. долл. новое значение платежа Р. Используем для этого формулу (7.8), находя значение коэффициента приведения по таблице 4 Прило­жения 2.

Р = А/а 4,9 = 12 000 ам. долл./7 ,435 = 1 614 ам. долл.

Составим теперь график погашения долга, в который должны входить процентные выплаты, расходы по погашению долга, ос­таток долга на конец каждого года.

Используя выведенные ранее формулы, находим искомые зна­чения:

	Сумма долга на конец года	Срочная уплата (Y)	Проценты (I/)	Выплата на погашение (Р)

Небольшое расхождение в остатке долга на конец 8-го года и сумме последней выплаты на погашение происходит из-за округ­ления некоторых значений предыдущих сумм.

5. Погашение долга с использованием переменных срочных уплат

Во многих случаях предпочтительнее оказывается погашение долга с использованием переменных срочных уплат. Срочные уп­латы могут изменяться в соответствии с некоторой закономернос­тью или задаваться графиком погашения.

Рассмотрим случай, когда последовательность срочных уплат представляет собой арифметическую профессию с заданной раз­ницей h. При сроке погашения п и процентной ставке ic, исполь­зуя формулу (7.20), находим величину срочной уплаты Р:

Р = [А i c +nпh/(1 +ic) n - h а i,n ]/ исходя из которой разрабатывается план погашения долга.

6. На практике часто встречается случай, когда заранее задают­ся размеры всех срочных уплат, кроме последней, определяемой величиной остатка долга на начало последнего периода (см. при­мер 31).

Долг в размере 10 000 ам. долл. требуется погасить за пять лет, размеры срочных уплат в первые четыре года - 2 000 ам. долл., 2 000 ам. долл., 4 000 ам. долл., 1 500 ам. долл. Найти величину последней уплаты, если процентная ставка составляет 5% годо­вых.

Разработаем план погашения долга.

Проценты за первый год составляют

I1 = Dic=10 000 0,05 = 500 (ам. долл.).

Р1 = Y1 - I1 = 1 500 ам. долл.;

D1= D-P1 = 8 000 ам. долл.

Для последующих лет получаем

I2 = D 1 i с = 8500 ам. долл. 0,05 = 425 ам. долл.;

Р 2 = Y 2 -I 2 = 2 000 - 425= 1 575 (ам. долл.):

D 2 = D 1 -P 2 =8 500 - 1 575 = 6 925 (ам. долл.);

I 3 =D 2 ic=6925 ам. долл. * 0,05=346,25, ам. долл.;

Р 3 = Yз -Iз = 4 000 - 346,25 = 3 653,75 (ам. долл.);

D 3 = D 2 -Рз = 6 925 - 3 653.75 = 3 271,25 (ам. долл.);

I 4 =D 3 ic= 3 271,25 ам. долл. 0,05 = 163,56 ам. долл.;

P 4 =Y 4 -I 4 = 1500 - 163,56 = 1 336,44 (ам. долл.):

D 4 =D 3 -P 4 =3 271,25 - 1 336,44 = 1 934,81 (ам. долл.);

I 5 =D 4 ic = 1 934,81 ам. долл. 0,05 = 96,74 ам. долл.;

Y 5 =D 4 +I 5 =1934,81=96,74=2031,55 (ам. долл.); P4= D4= 1 934,81 ам. долл.

Итак, величина последней уплаты должна составить 2031,55 ам. долл.

Необходимо заметить, что при одинаковых периодах потоков денег коэффициенты настоящей и будущей стоимости ренты постнумерандо, выплачиваемой с настоящего периода, совпадает с соответствующими коэффициентами ренты пренумерандо, выплачиваемой с будущего периода.

Пример. Инвестор в начале года кладет определенную сумму денег на банковский счет, по которому банк обещает выплачивать из расчета 80% годовых. Он рассчитывает ежегодно в течение 10 лет, начиная со следующего года получать 5 млн руб. Надо определить необходимую сумму вклада.

Поскольку инвестор собирается ежегодно снимать со счета деньги равными суммами в начале года, то речь идет о ренте пренумерандо, выплачиваемой с будущего года. Для определения суммы вклада необходимо найти настоящую стоимость данного вклада с ежегодным платежом С = 5 млн руб., периодом Т = 10 лет и ставкой доходности Е = 80%. Тогда в соответствии с формулой, представленной в таблице 19.2, получим

Таким образом, при ставке доходности 80% годовых и вкладе в банк 6,2325 млн руб. можно снимать в течение 10 лет ежегодно 5 млн руб. Если ставка доходности повышается, к примеру до 180%, то сумма вклада составит

Расчеты также показывают, что если ставка банковского процента меньше 100%, то настоящая стоимость ренты (сумма вклада), выплачиваемой с будущего периода банком, больше рентного платежа. Если же она больше 100%, то, наоборот, настоящая сумма вклада меньше рентного платежа.

Определим будущую стоимость той же ренты с ежегодным платежом 5 млн руб. при тех же условиях банка. Такая задача каждый раз возникает в тех случаях, когда надо определить будущую стоимость ренты пренумерандо. Используя формулы, приведенные в таблице 19.2, получим

Из приведенного расчета видно, что если в начале каждого года вносить в банк 5 млн руб., то за период времени Т = 10 лет при Е = 80% на счете инвестора окажется 2225,292 млн руб.

Если же ставку банковского процента увеличить, к примеру в 2,25 раза, т.е. до Е = 180%, то будущая стоимость ренты увеличится в 37 раз и составит

Рассмотрим пример расчета ренты пренумерандо, выплачиваемой с настоящего периода.

Пример. Инвестор вносит в банк в начале каждого года в течение 12 лет 0,5 млн руб. Надо определить, какая сумма средств окажется на его счете, если ставка банковского процента составляет 180% годовых. Для расчета используем формулу, приведенную в табл. 19.2.

Существуют и другие возможности оценки инвестиций эффективности на основе ренты пренумерандо.

В зависимости от срока, объема денежных поступлений и начисляемых при этом процентов аннуитеты могут быть:

· срочные;

· с изменяющейся величиной платежа;

· бессрочные.

Если число равных временных интервалов ограничено, аннуитет (А) называется срочным. В этом случае:

Примером срочного аннуитета могут служить регулярно поступающие рентные платежи за пользование сданным в аренду земельным участком в случае, если договором предусматривается регулярная оплата аренды по истечении очередного периода. В качестве срочного пренумерандо может выступать, к примеру, схема периодических денежных вкладов на банковский счет в начале каждого месяца с целью накопления достаточной суммы для крупной покупки. Наращенный денежный поток для исходного положения потока постнумерандо имеет вид:

Прямая задача оценки срочного аннуитета при заданных величинах регулярного поступления (А) и процентной ставки (Е) предполагает оценку будущей стоимости аннуитета. При этом наращенный денежный поток имеет вид:

Входящий в формулу множитель [(1 + Е) Т - 1]/Е называется коэффициентом наращения ренты для аннуитета, или коэффициентом наращения аннуитета. Он представляет собой сумму п первых членов геометрической прогрессии, начинающейся с 1 и знаменателем (1 + Е ).

Из формулы (19.24) следует, что [(1 + Е) Т - 1]/Е показывает, во сколько раз наращенная сумма аннуитета больше величины денежного поступления А. В связи с этим множитель называют коэффициентом аккумуляции вкладов.

Отметим, что формула (19.24) охватывает также и граничные случаи. Например, при одном денежном поступлении (Т = 1):

а при Е = 0 не происходит никаких начислений, т.е. денежные поступления просто суммируются.

Экономический смысл коэффициента наращения ренты состоит в том, что он показывает: чему будет равна суммарная величина срочного аннуитета в одну денежную величину (например, один рубль) к концу срока его действия. При этом предполагается, что производится только начисление денежных сумм, а их изъятие может быть сделано по окончании срока действия аннуитета. Коэффициент наращения ренты весьма часто используется в финансовых расчетах. Его значение зависит от процентной ставки (Е) и срока (п ) действия аннуитета. Причем при увеличении каждого из этих параметров величина множителя также прирастает.

Пример. Вам предлагают сдать в аренду здание на три года, выбрав один из двух вариантов оплаты аренды:

а) 100 тыс. руб. в конце каждого года;

б) 350 тыс. в конце трехлетнего периода.

Какой вариант будет более предпочтителен, если банк предлагает 20% годовых по вкладам?

Первый как раз и представляет собой аннуитет постнумерандо при Т = 3 и А = 100 тыс. руб. В этом случае имеется возможность ежегодного получения арендного платежа и инвестирования полученных сумм как минимум на условиях 20% годовых (например, вложение в банк). К концу трехлетнего периода по расчетам по формуле 19.24 накопленная сумма составит:

Таким образом, расчет показывает, что первый вариант более предпочтителен, чем второй, поскольку 364 тыс. руб. > 350 тыс. руб.

Обратная задача оценки срочного аннуитета постнумерандо сводится к определению будущих поступлений с позиций текущего момента, под которым в данном случае понимается момент времени, начиная с которого определяются равные временные интервалы, входящие в аннуитет. Схема дисконтирования денежных потоков приведена ранее (см. рис. 19.1).

Используя данные указанного примера, получим сумму денежного потока постнумерандо в начальном периоде (текущую стоимость):

Коэффициент дисконтирования ренты (аннуитета) или коэффициент наращения ренты

показывает, чему равна с позиции текущего момента величина аннуитета с регулярными денежными поступлениями в размере одной денежной единицы (например, один рубль), продолжающегося п равных периодов с заданной процентной ставкой Е.

Так, для указанного примера при Е = 20% PV = 211,11 тыс. руб. При одном денежном поступлении и Е = 0, PV = FV.

Дисконтирующий множитель представляет определенный практический интерес при помещении капитала под сложный процентную ставку Е в банк. Тем самым можно обеспечить регулярные выплаты в размере одной денежной единицы в течение п периодов. При этом выплаты производятся в конце каждого периода. Тогда будущая стоимость аннуитета пренумерандо может быть найдена по формуле:

Аналогично полученному значению может быть найдена приведенная стоимость аннуитета пренумерандо:

Рассмотрим следующий пример.

Пример. Предположим, что Вам предложено инвестировать 100 тыс. руб. на срок 5 лет при условии возврата ежегодно этой суммы частями по 20 тыс. руб. По истечении пяти лет выплачивается ежегодное вознаграждение в размере 30 тыс. руб. Надо ли принимать это предложение, если можно положить их в банк под 12% годовых?

Для принятия решения необходимо сравнить поступления денег между собой от этих вариантов.

От альтернативного варианта помещения денег на срочный депозит в конце пятилетнего периода получим

FV = 100 (1 + 0,12) 5 = 176,23 тыс. руб.

Денежный поток при этом можно представить двояко:

а) как срочный аннуитет постнумерандо с А = 20, п = 5, Е = 20% и единовременное получение суммы в размере 30 тыс. руб.;

б) срочный аннуитет пренумерандо с А = 20, п = 4, Е = 20% и единовременное получение сумм в размере 20 и 30 тыс. руб.

Тогда по формуле (19.25) в первом случае получим 157,06 тыс. руб.

Во втором случае по формуле (19.26) получим 157,06 тыс. руб.

Оба эти варианта привели к одинаковому результату.

Следовательно, предложение экономически невыгодно.

В ряде случаев при формировании денежных средств для реализации инвестиционного проекта определенный интерес представляет метод депозитной книжки. Суть ее заключается в том, что сумма, положенная на депозит, приносит доход в виде банковских процентов. При снятии с депозита некоторой суммы базовая величина, с которой начисляются проценты, уменьшается. Чаще всего такая ситуация и имеет место в случае с аннуитетом. Следовательно, под текущей стоимостью аннуитета можно понимать величину депозита с общей суммой причитающихся начисляемых процентов, которая ежегодно уменьшается па равные суммы. При этом сумма годового платежа включает в себя начисленные за очередной период проценты, а также некоторую часть основной суммы долга. В результате погашение исходного долга осуществляется в течение всего срока аннуитета. Соответственно структура годового платежа постоянно меняется по мере сокращения долга и суммы от начисленных процентов.

Рассмотрим следующий пример.

Пример. Инвестор для расчетов с исполнителями инвестиционного проекта положил на депозитный счет 30 тыс. руб. на пять лет под 13%, начисляемых по схеме сложных процентов на непогашенный остаток. Рассчитываться с исполнителями проекта надо равными суммами в конце каждого года.

Если обозначить за А величину искомого платежа, то данные соглашение с банком можно представить в виде следующей схемы (рис. 19.3)

С позиций инвестора указанная схема на рис. 19.3 представляет собой последовательность расчета с исполнителями проекта. Для этого инвестор открывает депозитный счет в банке, который выступает заемщиком, берущим под 13% годовых заем. Таким образом инвестор предполагает осуществлять равные по годам выплаты.

Поскольку в течение первого года банк пользуется полной суммой вклада инвестора, то, соответственно, сумма платежа (оттока денежных средств) исполнителям будет состоять из начисленных процентов, равных 3,9 , и оставшейся части, составляющей: А - 3,9. В последующих периодах времени аналогичный расчет будет повторяется при условии, что сумма первоначального вклада инвестора будет сокращаться, а доля платежа возрастать. Например, после окончания второго года банк также перечислит исполнителям определенную инвестором сумму. При этом размер денег от начисляемых банком процентов будет сокращаться по мере его расчетов с исполнителями.

Для определения годового платежа А используем формулу 19.26.

где А = 30 /3,517 = 8,53 тыс. руб.

На практике возможны ситуации, когда денежные поступления продолжаются достаточно длительное время. В этих случаях аннуитет называется бессрочным, или вечной рентой, т.е. п → ∞. К бессрочным аннуитетам в зарубежной практике относят аннуитеты, рассчитанные на 50 и более лет. Поскольку определение будущей стоимости поступлений не имеет смысла, нахождение приведенной стоимости представляет определенный практический интерес.

Для бессрочного аннуитета постнумерандо используется следующая формула

Формула (19.27) показывает, что поток даже с неограниченным числом платежей имеет все же конечную приведенную к начальному моменту времени стоимость.

Таким образом, рассмотренные денежные потоки в виде рент и аннуитетов с финансовой точки зрения представляют практический интерес при выборе рациональной схемы финансирования.