≡× МЕНЮ

• Постройки
• Отделка
• Кладка
• Раствор
• Расчет

Сложные процентные ставки. Формула сложных процентов

Сложные проценты

Наращение по сложным процентам

Сложными называются ставки процентов, которые применяются к сумме с начисленными в предыдущем периоде процентами. Основное отличие сложных процентов от простых заключается в том, что база для начисления процентов меняется от одного расчётного периода к другому. Механизм наращения первоначального капитала по сложным процентам называется капитализацией процентов.

Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.

Существуют два способа начисления сложных процентов: антисипативный и декурсивный. Рассмотрим декурсивный метод расчёта сложных процентов. В этом случае начисление процентов на первоначальную сумму производится в конце периода наращения. В конце первого периода (года) наращенная сумма равна:

S =P (1+i ).

В конце второго периода (года) проценты начисляются на уже наращенную сумму

S =P (1+i )(1+i )=P (1+i ) 2 ,

S=P (1+i ) n . (1.11)

Формула (1.11) называется формулой наращения по сложным процентам (формулой сложных процентов ). Множитель (1+i ) n в формуле (1.11) является коэффициентом наращения.

Формулы удвоения суммы

В целях оценки своих перспектив кредитору и должнику интересно знать, через сколько лет сумма ссуды возрастёт в N раз при данной процентной ставке. Для этого приравняем коэффициент наращения величине N , в результате получим:

а) для простых процентов 1+ni =N , тогда

б) для сложных процентов (1+i ) n =N , тогда

Для случая N= 2 формулы (1.12) и (1.13) называются формулами удвоения и принимают следующий вид:

а) для простых процентов

n= 1/i ; (1.14)

б) для сложных процентов

При небольших ставках процентов (менее 10%) вместо формулы (1.22) можно использовать приближённую формулу, если учесть, что ln 2»0,7, а ln(1+i )»i . Тогда

n» 0,7/i. (1.16)

□ Пример 1.5. За сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов, равной 5%?

1. Случай простых процентов:

n= 1/0,05=20 лет.

2. Случай сложных процентов, вычисленных по точной формуле:

лет.

3. Случай сложных процентов, вычисленных по приближённой формуле:

n »0,7/0,05=14 лет.

Таким образом, одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к различным результатам, при малых значениях ставки сложных процентов точная и приближённая формулы дают практически одинаковые результаты.■

Начисление сложных процентов при дробном числе лет

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, то наращенную сумму можно найти различными способами:

S=P (1+i ) n ,

2. смешанным методом, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное - простые

S=P (1+i ) [n ] (1+{n }i ), (1.17)

где [n ] - целая часть числа n ; {n } - дробная часть числа n .

3. в ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т. е.

S=P (1+i ) [n ] . (1.18)

Номинальная ставка

В контрактах на получение кредитов часто предусматривается капитализация процентов по полугодиям, кварталам, иногда помесячно. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке j/m. Ставка j называется номинальной . Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле

, (1.19)

где N=mn - число периодов начисления, n - число лет.

Если срок ссуды измеряется дробным числом лет, а начисление процентов производится m раз в году, то наращенная сумма может быть определена несколькими способами, приводящими к различным результатам:

1. по формуле сложных процентов

, (1.20)

где N/t - число периодов начисления процентов, t - период начисления процентов;

2. по смешанному методу

, (1.21)

где [N/t ] - число полных периодов начисления процентов, {N/t } - дробная часть одного периода начисления процентов.

□ Пример 1.6. На сумму 600 ден. ед. ежеквартально по ставке 12% годовых начисляются сложные проценты в течение 14 месяцев. Определите величину наращенной суммы двумя методами.

Решение. Общее число периодов начисления процентов составит , т. е. 4 квартала и 2 месяца. По формуле сложных процентов наращенная сумма будет равна

ден. ед.

Используя смешанный метод начисления, наращенная сумма составит:

ден. ед.

Если дробную часть не учитывать, то наращенная сумма будет равна:

ден. ед.

Из полученных результатов расчёта следует, что для ссудодателя выгоднее смешанный метод начисления процентов, т. к. итоговая сумма получается максимальной, а для заёмщика предпочтительнее третий вариант, т. к. итоговая сумма минимальна. ■

Переменные ставки сложных процентов

Нестабильность экономической ситуации вынуждает банки использовать в кредитных сделках изменяющиеся во времени, но заранее фиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В этом случае наращенная сумма может быть определена по формуле:

где P - первоначальная сумма; i t - ставка простых процентов в периоде с номером ; n t - продолжительность периода начисления по ставке i t .

1.2.2 Сложные учётные ставки

Наращение по сложной учётной ставке

Принцип начисления сложных антисипативных процентов аналогичен методу начисления простых антисипативных процентов. В первом периоде наращенная сумма определяется по формуле

во втором периоде она будет равна

,

где d - учётная ставка сложных процентов; n - число лет. Формула (1.23) называется формулой наращения по сложным антисипативным процентам (формулой сложных антисипативных процентов ). Множитель в формуле (1.23) является коэффициентом наращения.

Номинальная учётная ставка процентов

В тех случаях, когда начисление сложных антисипативных процентов производят m раз в году, используют номинальную учётную ставку f . Тогда каждый раз проценты начисляются по ставке f/m , и наращенная сумма определяется по формуле

где, N=mn - число периодов начисления, n - число лет.

□ Пример 1.7. Срочный вклад в размере 800 ден. ед. положен в банк на 2,5 года. По условиям договора начисления процентов производится один раз в году по сложной учётной ставке d =15% годовых. Определить наращенную сумму.

Решение. Наращенная сумма составит

ден. ед.

Если наращение по учётной ставке производить не один, а два раза в год (m =2), то наращенная сумма будет равна:

ден. ед. ■

Сложная процентная ставка

Формулы наращения

Сложная процентная ставка наращения – это процентная ставка, при которой база начисления, в отличие от простых процентов, является п е р е м е н н о й, т.е. проценты начисляются на проценты.

Также заранее оговаривается некоторый единичный промежуток начисления процентов (год, месяц, квартал и т.д.) и ставка процента i (илиi % = 100i ). Пусть начальная сумма долга равнаP . Тогда через единичный промежуток сумма долга составитS 1 =P (1+i ), как и в случае простых процентов. Однако к концу 2-го единичного промежутка сумма долга составитS 2 =S 1 (1+i ) =P (1+i )2 (в отличие от формулыS 2 =P (1+2i ) для простых процентов. К концу 3-го периода получаемS 3 =S 2 (1+i ) =P (1+i )3 . И т.д. К концу n -го единичного промежутка получаем

S n =P (1+i )n .

Итак, через n промежутков начальная суммаP увеличится в (1+i )n раз. Множитель (1+i )n называетсямножителем наращения . Отметим, что наращение по сложным процентам представляет рост начальной суммы по закону геометрической прогрессии, первый член которой равенP , а знаменатель 1+i .

Задача 1 . Исходная сумма вкладаP = 40 000 р. Процентная ставкаi %=10% годовых. Определить наращѐнную по сложным процентам за 3 года, а затем сравнить ее с суммой наращения по схеме простых процентов.

Решение . Применяя формулу (1) имеем

S 3,слож =P (1+i )3 = 40 000 (1+0.1)3 = 53 240 р.

Вычислим наращѐнную сумму по схеме простых процентов:

S 3,пр =P (1+3i ) = 40 000 (1+0.3) = 52 000 р. < 53 240 р.

Итак, в рассматриваемом случае использование сложных процентов приводит к большей наращѐнной сумме, что выгоднее вкладчику по сравнению с наращением по схеме простых процентов.

Формула наращения сложных процентов (1), выведенная для целых

положительных n , применима и для нецелыхt					0: S t	P (1+i )t .
Задача 2 . Какой величиныS 4.6	достигнет долг, равный 8 000 р., через 4.6 года
при росте по сложной ставке процента i =20% годовых.
Решение . По условию задачиP = 8 000 р. Тогда
S 4.6 =P (1+i )t = 8 000(1+0.2)4.6
Итак, через 4.6 года долг достигнет значения 18 506 р. 48 коп.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула
наращѐнной суммы принимает вид
S = P (1	i )n 1 (1			) n2	...(1			) nm .

Здесь P – начальная сумма,n k – продолжительность k -го периода начисления процентов иi k – ставка простых процентов в периоде с номеромk .

Задача 3 . В договоре об обслуживании банковского вклада в течение 4-х лет зафиксирована переменная ставка сложных процентов следующим образом. В 1-й год – 6% годовых, во 2-й и 3-й год ставка одна и та же – 5% годовых, в 4-й год

– 8%. Определить величину множителя наращения за 4 года.

Решение . ПустьP – некоторая начальная сумма. По условию задачи

i 1 = 0.06,i 2 =i 3 = 0.05,i 4 = 0.08.

Обозначим i 23 = 0.05. Имеем в соответствии с формулой (2):

S = P (1 i 1 ) 1 (1 i 23 ) 2 (1 i 4 ) 1 =P (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08).

В результате вычислений получаем значение множителя наращения:

S /P = (1+0.06)(1+0.05)2 (1+0.08) = 1.262142.

Сравнение силы роста простых и сложных процентов

При одной и той же ставке процента i наращение сложных процентов:

идет быстрее, чем простых процентов, если длина периода наращения больше единичного периода;

идет медленнее, чем простых процентов, если длина периода наращения меньше единичного периода.

Ранее было отмечено, что наращение для единичного периода одинаково, независимо от того, используется схема простых процентов или сложных.

Обоснуем сказанное. В самом деле при i > 0:

если t >1, то (1+i )t > 1+it ; если 0

Для доказательства этого факта рассмотрим функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it . Очевидно,f (0) =g (0),f (1) =g (1) и обе функции возрастают приt 0 не только по их содержательному смыслу, но и формально ввиду положительности их производныхf (t ) = (1+i )t ln (1+i ) иg (t ) =i . В то же время производная второго порядкаf (t ) = (1+i )t ln 2 (1+i ) положительна приt 0, что означает выпуклость вниз функцииf (t ) приt 0 (т.е. ускоренный рост). При этом функцияg (t ) растет линейно

(g (t ) = 0).

На графике изображены функции f (t ) = (1+i )t иg (t ) = 1+it в зависимости отt :

Пример . Пусть суммаP =800 наращивается по ставке i=8% простых и сложных процентов. Тогда наращѐнные суммы таковы

Для оценки своих перспектив кредитору и должнику зачастую важно знать, через сколько времени сумма ссуды возрастает в N раз при данной процентной ставкеi . Для этого приравняем множитель наращения величинеN , в результате чего получим:

a) для простых процентов 1 + ni =N , откудаn = (N –1) / i .

b) для сложных процентов (1 + i )n =N , откудаn = lnN / ln(1 +i ).

Решение . По условию задачиi =0.04,N =2. Имеем

a) для простых процентов n = (N –1) / i = 1 /i , откудаn = 1/0.04 = 25 лет

b) для сложных процентов n = lnN / ln(1 +i ), откудаn = ln 2/ln(1.04) 17.67 лет. Расчет по схеме сложных процентов быстрее удваивает долг.

Некоторые способы начисления процентов при дробном числе лет

В практике финансовых учреждений при дробном числе лет t проценты начисляются по-разному. Рассмотрим три основных способа начисления.

1. По формуле сложных процентов: S = P (1+i )t .

2. На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые: S = P (1+i )n (1+bi ), гдеt=n+b ,n – целое число лет,b – дробная часть года.

3. В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезок времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.

S = P(1+ i) n .

Задача 5 . Размер ссуды, представленной на 27 месяцев, равен 100 000 р. Годовая процентная ставка равна 20%. Вычислить наращѐнную сумму указанными тремя способами.

Решение . По условию задачи срок ссуды составляет 2.25 года. Имеем следующие расчеты.

По 1-му способу:S I = 100 000(1+0.2)2 . 2 5 150 715 р. 46 коп. По 2-му способу:S II = 100 000(1+0.2)2 (1+0.25 0.2) = 151 200 р. По 3-му способу:S III = 100 000(1+0.2)2 = 144 000 р.

Формулы дисконтирования в случае сложных процентов

Задача 6 . Выписать таблицу для дисконтного множителя (1+i )– n при сроке ссуды 5, 10 и 20 лет; сложная ставка наращения составляет 10% и 20%.

Решение . Результаты расчетов по формуле (3) приведены в таблице

Если осуществляется дисконтирование по схеме банковского (коммерческого) учета, то изначально оговаривается учетная ставка d , 0d <1. Она применяется не к начальной сумме, как при простой учетной ставке, а к сумме, уже дисконтированной на предыдущем промежутке времени. Размер дисконта, или учета, удерживаемого финансовым учреждением, равен

P = S(1– d) n .

Задача 7 . Вексель на сумму 20 000 р., срок платежа по которому наступает через 1.5 года, учтен по сложной процентной ставке 18% годовых. Определить сумму, полученную владельцем векселя при учете, а также соответствующий дисконт.

Решение . Здесь по условию задачиS =20 000,n =1.5,d =0.18. Тогда по формуле (4) получаем следующие результаты расчетов:

сумма, получаемая владельцем P = 20 000(1 – 0.18)1.5 14850 р. 83 коп.,

дисконт D = S – P 20 000 – 14850.83 = 5149 р. 17 коп.

Люди во все времена думали о своем завтрашнем дне. Они старались и стараются обезопасить от финансовых невзгод и себя, и своих детей и внуков, строя хотя бы небольшой островок уверенности в будущем. Начиная строить его уже сейчас с помощью небольших банковских вкладов, можно обеспечить себе в дальнейшем стабильность и независимость.

Основным принципом банковских операций является то, что денежные средства способны увеличиваться лишь тогда, когда находятся в постоянном обороте. Чтобы клиентам уверенно ориентироваться в сфере финансовых услуг и уметь правильно подбирать условия, выгодные им в определенный промежуток времени, необходимо знать ряд простых правил. В данной статье речь пойдет о долгосрочных вложениях, которые позволяют за определенное количество лет из относительно небольшой суммы начального капитала получить существенную прибыль или использовать вклад дальше, снимая начисления для повседневных нужд.

Для правильного расчета прибыли необходимо выполнить несложные арифметические действия на основе нижеизложенных формул.

Формула сложного процента (расчет в годах)

Например, вы решили положить 100000,00 руб. под 11% годовых, чтобы через 10 лет воспользоваться сбережениями, которые значительно выросли в результате капитализации. Для расчета итоговой суммы следует применить методику расчета сложного процента.

Применение сложного процента подразумевает то, что в конце каждого периода (год, квартал, месяц) начисленная прибыль суммируется с вкладом. Полученная сумма является базисом для последующего увеличения прибыли.

Для расчета сложного процента применяем простую формулу:

• S – общая сумма («тело» вклада + проценты), причитающаяся к возврату вкладчику по истечении срока действия вклада;
• Р – первоначальная величина вклада;
• n - общее количество операций по капитализации процентов за весь срок привлечения денежных средств (в данном случае оно соответствует количеству лет);
• I – годовая процентная ставка.

Подставив значения в эту формулу, мы видим, что:

через 5 лет сумма будет равняться руб.,

а через 10 лет она составит руб.

Если бы мы рассчитывали за короткий период, то сложный процент было бы удобнее рассчитывать по формуле

• К – количество дней в текущем году,
• J – количество дней в периоде, по итогам которого банком производится капитализация начисленных процентов (остальные обозначения – как и в предыдущей формуле).

Но тем, кому удобнее ежемесячно снимать проценты по вкладу, лучше ознакомиться с понятием «капитализация вклада», подразумевающим начисление простых процентов.

На графике показано как вырастет капитал при капитализации процентов по вкладу, если вложить 100000,00 руб. на 10 лет под 10%, 15% и 20%

Формула сложного процента (расчет в месяцах)

Существует и другой, более выгодный для клиента метод начисления и прибавления процентной ставки – ежемесячный. Для этого применяется следующая формула:

где n также соответствует количеству операций по капитализации, но уже выражается в месяцах. Процентный показатель здесь дополнительно делится на 12 потому что в году 12 месяцев, а у нас появляется необходимость в расчете месячную процентную ставку.

Если бы данная формула использовалась для поквартального начисления вклада, то годовой процент делился бы на 4, а показатель n был бы равен количеству кварталов, а если бы процент начислялся по полугодиям, то процентная ставка делилась бы 2, а обозначение n соответствовало количеству полугодий.

Итак, если бы нами был сделан вклад в сумме 100000,00 руб. с ежемесячной капитализацией процентов, то:

через 5 лет (60 месяцев) сумма вклада выросла бы до 172891,57 руб., что примерно на 10000 руб. больше, чем в случае с ежегодной капитализацией вклада; руб.

а через 10 лет (120 месяцев) «наращенная» сумма составила бы 298914,96 руб., что уже на целых 15000 руб. превосходит показатель, рассчитанный по формуле сложного процента, предусматривающей расчет в годах.

руб.

Это означает, что доходность при ежемесячном начислении процентов оказывается больше, чем при начислении один раз в год. И если прибыль не снимать, то сложный процент работает на пользу вкладчика.

Формула сложного процента для банковских вкладов

Вышеописанные формулы сложного процента – это, скорее всего, наглядные примеры для клиентов, чтобы они могли понять порядок начисления сложных процентов. Эти расчеты несколько проще, чем формула, применяемая банками к реальным банковским вкладам.

Здесь используется такая единица, как коэффициент процентной ставки для вклада (p). Его рассчитывают так:

Сложный процент («наращенная» сумма) для банковских вкладов рассчитывается по следующей формуле:

На ее основе и взяв в качестве примера те же данные, мы рассчитаем сложный процент по банковскому методу.

Для начала определяем коэффициент процентной ставки для вклада:

Теперь подставляем данные в основную формулу:

руб. – это сумма вклада, «выросшая» за 5 лет*;

руб. – за 10 лет*.

*Приведенные в примерах расчеты являются приблизительными, поскольку в них не учтены високосные года и разное количество дней в месяце.

Если сравнивать суммы из этих двух примеров с предыдущими, то они несколько меньше, но все же выгода от капитализации процентов очевидна. Поэтому, если вы твердо решили положить деньги в банк на длительный срок, то предварительный подсчет прибыли лучше делать с помощью «банковской» формулы – это поможет вам избежать разочарований.

Лекция. Конструирование гражданских зданий из крупных блоков.

Лекция 02.10.2013. Основные технические документы, предъявляемые на государственные и контрольные испытания

Вопросы для рассмотрения:

1. Начисление сложных годовых процентов.

2. Сравнение роста по сложным и простым процентам.

3. Наращение процентов несколько раз в году.

4. Дисконтирование по сложной процентной ставке.

5. Определение срока финансовой операции и величины процентной ставки.

6. Непрерывное наращение и дисконтирование.

В финансовой практике значительная часть расчетов ведется с использованием схемы сложных процентов. Применение схемы сложных процентов целесообразно в тех случаях, когда:

− проценты не выплачиваются по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга. Присоединение начисленных процентов к сумме долга, которая служит базой для их начисления, называется капитализацией процентов;

− срок ссуды более года.

Если процентные деньги не выплачиваются сразу по мере их начисления, а присоединяются к первоначальной сумме долга, то долг, таким образом, увеличивается на невыплаченную сумму процентов, и последующее начисление процентов происходит на увеличенную сумму долга:

– за один период начисления;

– за два периода начисления;

отсюда, за n периодов начисления формула примет вид:

где – наращенная сумма долга; – первоначальная сумма долга; i – ставка процентов в периоде начисления; n – количество периодов начисления. Эта формула называется формулой сложных процентов.

Различие начисления простых и сложных процентов в базе их начисления. Если простые проценты начисляются все время на одну и ту же первоначальную сумму долга, т.е. база начисления является постоянной величиной, то сложные проценты начисляются на увеличивающуюся с каждым периодом начисления базу. Таким образом, простые проценты по своей сути являются абсолютными приростами, а формула простых процентов аналогична формуле определения уровня развития изучаемого явления с постоянными абсолютными приростами. Сложные проценты характеризуют процесс роста первоначальной суммы со стабильными темпами роста, при наращении ее по абсолютной величине с ускорением, следовательно, формулу сложных процентов можно рассматривать как определение уровня на базе стабильных темпов роста.

Согласно общей теории статистики, для получения базисного темпа роста необходимо перемножить цепные темпы роста. Поскольку ставка процента за период является цепным темпом прироста, то цепной темп роста равен:

(1 + i ).

Тогда базисный темп роста за весь период, исходя из постоянного темпа прироста, имеет вид:

(1 + i) n .

Экономический смысл множителя наращения состоит в том, что он показывает, чему будет равна одна денежная единица (один рубль, один доллар и т.п.) через n периодов при заданной процентной ставке i .

Графическая иллюстрация соотношения наращенной суммы по простым и сложным процентам представлена на рисунке.

Как видно из рисунка, при краткосрочных ссудах начисление по простым процентам предпочтительнее, чем по сложным процентам; при сроке в один год разница отсутствует, но при среднесрочных и долгосрочных ссудах наращенная сумма, рассчитанная по сложным процентам значительно выше, чем по простым.

При любом i ,

если 0 < n < 1, то (1 + ni) > (1 + i) n

если n > 1, то (1 + ni) < (1 + i) n

если n = 1, то (1 + ni) = (1 + i) n

Таким образом, для лиц, предоставляющих кредит:

− более выгодна схема простых процентов, если срок ссуды менее года (проценты начисляются однократно в конце года);

− более выгодной является схема сложных процентов, если срок ссуды превышает один год;

− обе схемы дают одинаковый результат при продолжительности периода один год и однократном начислении процентов.

Достаточно часто финансовые контракты заключаются на период, отличающийся от целого числа лет.

В случае, когда срок финансовой операции выражен дробным числом лет, начисление процентов возможно с использованием двух методов:

− общий метод заключается в прямом расчете по формуле сложных процентов:

,

где n – период сделки; a – целое число лет; b – дробная часть года.

− смешанный метод расчета предполагает для целого числа лет периода начисления процентов использовать формулу сложных процентов, а для дробной части года – формулу простых процентов:

.

Поскольку b < 1 , то (1 + bi) > (1 + i) a , следовательно, наращенная сумма будет больше при использовании смешанной схемы.

Cмешанная схема более выгодна кредитору.

Период начисления по сложным процентам не всегда равен году, однако в условиях финансовой операции указывается не ставка за период, а годовая ставка с указанием периода начисления – номинальная ставка (i ).

Номинальная ставка (nominal rate ) – годовая ставка процентов, исходя из которой определяется величина ставки процентов в каждом периоде начисления, при начислении сложных процентов несколько раз в год.

Эта ставка:

− во-первых, не отражает реальной эффективности сделки;

− во-вторых, не может быть использована для сопоставлений.

Если начисление процентов будет производиться m раз в год, а срок долга – n лет, то общее количество периодов начисления за весь срок финансовой операции составит

Отсюда формулу сложных процентов можно записать в следующем виде:

,

где i – номинальная годовая ставка процентов.

Наряду с номинальной ставкой существует эффективная ставка (effective rate ), измеряющая тот реальный относительный доход , который получен в целом за год, с учетом внутригодовой капитализации. Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m :

,

.

Из формулы следует, что эффективная ставка зависит от количества внутригодовых начислений.

Расчет эффективной ставки является мощным инструментом финансового анализа, поскольку ее значение позволяет сравнивать между собой финансовые операции, имеющие различные условия: чем выше эффективная ставка финансовой операции, тем (при прочих равных условиях) она выгоднее для кредитора.

Необходимо отметить, что основная формула сложных процентов предполагает постоянную процентную ставку на протяжении всего срока начисления процентов. Однако, предоставляя долгосрочную ссуду, часто используют изменяющиеся во времени, но заранее зафиксированные для каждого периода ставки сложных процентов. В случае использования переменных процентных ставок, формула наращения имеет следующий вид:

где i k – последовательные во времени значения процентных ставок; n k – длительность периодов, в течение которых используются соответствующие ставки.

Все ситуации, которые мы до сих пор рассматривали, относились к дискретным процентам, поскольку их начисление осуществляется за фиксированные промежутки времени (год, квартал, месяц, день, час). Но на практике нередко встречаются случаи, когда проценты начисляются непрерывно , за сколь угодно малый промежуток времени. Если бы проценты начислялись ежедневно, то годовой коэффициент (множитель) наращения выглядел так:

.

Но поскольку проценты начисляются непрерывно, то m стремится к бесконечности, а коэффициент (множитель) наращения стремится к e i , где e ≈ 2,718281, называется числом Эйлера и является одной из важнейших постоянных математического анализа.

Отсюда можно записать формулу наращенной суммы для n лет:

Ставку непрерывных процентов называют силой роста (force of interest) и обозначают символом δ , в отличие от ставки дискретных процентов (i ).

Графически изменение наращенной суммы в зависимости от частоты начисления имеет следующий вид:

При дискретном начислении каждая «ступенька» характеризует прирост основной суммы долга в результате очередного начисления процентов. Обратите внимание, что высота «ступенек» все время возрастает.

В рамках одного года одной «ступеньке» на левом графике соответствует две «ступеньки» на среднем графике меньшего размера, но в сумме они превышают высоту «ступеньки» однократного начисления. Еще более быстрыми темпами идет наращение при непрерывном начислении процентов, что и показывает график справа.

Таким образом, в зависимости от частоты начисления процентов наращение первоначальной суммы осуществляется с различными темпами, причем максимально возможное наращение осуществляется при бесконечном дроблении годового интервала.

Непрерывное начисление процентов используется при анализе сложных финансовых задач, например, обоснование и выбор инвестиционных решений. Оценивая работу финансового учреждения, где платежи за период поступают многократно, целесообразно предполагать, что наращенная сумма непрерывно меняется во времени и применять непрерывное начисление процентов.

Также как для простых процентов, для сложных процентов необходимо иметь формулы, позволяющие определить недостающие параметры финансовой операции:

− срок ссуды,

− ставка сложных процентов.

| | 3 | | | | |

Несомненно, выгодность банковского вклада, в первую очередь, определяет процентная ставка. Ведь именно на нее ориентируется каждый потенциальный клиент. Но, на самом деле, вкладчику нужно, в частности, обратить внимание не на годовую процентную ставку, а на метод начисления прибыли. Ведь в финансовой системе банка существуют два понятия: простой и сложный процент. А для каждого вкладчика нужно точно знать, что такое простые и сложные проценты понятие и формулы, чтобы определить, какой вклад будет наиболее выгодный для него.

Что такое простой процент

В первую очередь, простой процент – это начисление вознаграждения за размещение вклада на банковском счете за весь период хранения средств. Если говорить простыми словами, то простой процент начисляется лишь по окончании срока действия депозитного договора, он определяется в годовой процентной ставке. Причем, если договор автоматически продлевается на следующий срок, то вознаграждение за предыдущий период не причисляется к телу депозита.

Чтобы максимально точно понять, что такое простая система начисления прибыли рассмотрим пример. Вы разместили в банке 50000 рублей под 7% годовых на один год. По окончании срока действия договора ваша прибыль составит 50000×0,07=3500 рублей. При автоматической пролонгации договора на следующий срок ваша прибыль составит снова 3500 рублей. То есть спустя 2 года вы сможете в банке получить 50000+3500+3500=57000 рублей.

Важно! Формула расчета простых процентов выглядит следующим образом: K=D×p. Где K – сумма прибыли, D – тело депозита, p – годовая процентная ставка (в формуле нужно указывать не годовую ставку, а ставку, деленную на 100).

Если вы размещаете средства на срок меньше чем на один год, то соответственно процентная ставка годовая делится на 12 и умножается на количество месяцев, в течение которых средства были на банковском счете. Например, если срок депозита 3 месяца, а процентная ставка 10% в год, то общая прибыль рассчитывается следующим образом.0,1/12×3=0,025. Например, если вы разместили 50000 рублей сроком на 3 месяца, то прибыль по окончании срока действия договора будет следующий: 50000×0,025=1250 рублей.

Формулы простых и сложных процентов

Сложные проценты по вкладу

Отличие простых процентов от сложных на самом деле довольно большое. При выборе депозитного продукта наверняка каждому приходилось слышать о таком понятии, как капитализация. То есть это та схема начисления прибыли, при которой начисленная прибыль причисляется к телу депозита, а на него в будущем снова начисляется доход.

Обратите внимание, что капитализация осуществляется с определенной периодичностью, например, один раз в неделю, в месяц в квартал или год.

Отсюда можно сделать вывод, что капитализация позволяет получить большую прибыль по сравнению с простым процентом. Чтобы наглядно в этом убедиться рассмотрим формулу расчета сложных процентов, а выглядеть она будет следующим образом: B=(K×H×P/N)/100 , где:

• B – размер начисленной прибыли;
• K – тело депозита;
• H – годовая ставка;
• P – количество дней, в течение которых происходит капитализация;
• N – число дней в году.

Чтобы наглядно понять, как именно будет рассчитываться сложный процент. Рассмотрим простой пример. Сумма депозита 50000 рублей процентная ставка в год 7%, капитализация осуществляется ежемесячно, срок действия договора один год. Произведем расчет прибыли за первый месяц пользования депозитом: B=(50000×7×30/365)/100=287,6 рублей – это прибыль за первый месяц. В следующем периоде расчет будет выглядеть следующим образом: B=(50287,6×7×31/365)/100=298,9 рублей.

Из вышеприведенного примера можно сделать вывод, что капитализация позволяет получать с каждым месяцем большую прибыль по сравнению с предыдущим. Вот только при выборе депозитного предложения обязательно обратить внимание, с какой периодичностью осуществляется капитализация процентов, чем чаще, тем больше выгоды получает клиент.

В чем отличие

На самом деле система начисления процентов по вкладам сильно различается в первую очередь по той причине, что с капитализацией процентов выгода депозита может быть значительно выше, нежели при простой системе. Потому что при простой системе прибыль растет в арифметической прогрессии, а при сложной в геометрической. Чтобы наглядно в этом убедиться, ниже приведена схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов.

Схема сложных процентов в сравнении со схемой простых процентов

Но, в этом вопросе также есть подводные камни. Условия банковских вкладов строго индивидуальны, поэтому при выборе депозитного продукта в первую очередь обратите внимание на количество периодов капитализации за весь срок действия договора. Например, банк указывает, что по вашему депозитному договору предусмотрена капитализация процентов, но она осуществляется 1 раз в 6 месяцев, то есть первый доход, вы получите спустя полгода после заключения соглашения с банком. При этом вы решили разместить средства лишь на 3 месяца, соответственно, вы получите свои средства раньше, чем банк проведет капитализацию процентов и в данном случае целесообразней выбрать простой расчет процент по вкладу.

Важно! Большинство банков предлагают по одному и тому же депозитному предложению своим клиентам сделать выбор получать прибыль с определенной периодичностью или причислять себя к телу депозита, соответственно, у клиента есть возможность выбрать по какой системе простой или сложной, он хотел бы получать свой доход.

На самом деле понять, в чем состоит принципиальная разница между простыми и сложными процентами достаточно просто, но все же нюанс заключается в том, что банки в договоре не указывают такие понятия, как простые и сложные проценты каждый потенциальный вкладчик должен обращать внимание на все условия договора. Если в договоре указано, что проценты выплачиваются по окончании срока действия договора, соответственно, капитализация по такому договору не предусмотрена.